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 Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras |
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Schneepirat
Junior 
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2019-10-05
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Hallo zusammen
Folgendes Problem geht mir nicht aus dem Kopf. Es handelt sich um eine Aufgabe für Schüler der 8. Klasse. Kreiswinkelsätze und Pythagoras dürfen verwendet werden (keine Ähnlichkeit, Trigonometrie).
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_Unbenannt.JPG
Ich habe bisher herausgefunden, dass der Kreisradius 6 cm und Alpha=60° ist. Bin sehr dankbar um weitere Hinweise.
LG
Schneepirat
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-05
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Hallo,
die Aufgabe lässt sich IMO relativ leicht mit dem Peripheriewinkelsatz knacken (BTW: wo stammt die Aufgabe her, ich kenne sie in leicht verallgemeinerter Form als alte Wettbewerbsaufgabe aus Baden-Württemberg?).
Verlängere dazu einmal die vom Durchmesser nach rechts oben weisende Dreieckseite nach unten, bis zum erneuten Schnittpunkt mit dem Kreis. Betrachte dann das so entstehende Dreieck. Von diesem kennst du sofort einen Winkel...
Gruß, Diophant
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Schneepirat
Junior
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-05
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Lieber Diophant
Herzlichen Dank für die schnelle Antwort! Du rettest gerade meine Nachtruhe :-)
Ich habe das ganze noch mit Geogebra gezeichnet.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_Unbenannt2.JPG
Dein Tipp hilft zum Winkel Beta=30°. Dann weiss man wegen dem Zentriwinkelsatz, dass Gamma=60° ist. Damit ist x eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 6 cm.
Die Aufgabe stammt aus einem alten, aber grossartigen Büchlein "Geometrische Denkaufgaben" von P. Eigenmann.
https://www.zvab.com/buch-suchen/titel/geometrische-denkaufgaben/autor/eigenmann/
Beste Grüsse
Schneepirat
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-06
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Hallo Schneepirat,
kleine Ergänzung: die Längenangaben hast du ja nur zur Bestimmung des Kreisradius benötigt. In der verallgemeinerten Fassung, von der ich sprach, war eben dieser Radius angegeben, nicht aber die Lage des unteren Dreickpunkts auf dem Kreisdurchmesser. Denn: das funktioniert so für jede mögliche Lage auf dem Durchmesser.
Gruß, Diophant
PS: vielen Dank für den Literaturtipp!
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Schneepirat
Junior
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06
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Vielen Dank für die Ergänzung! Interessant, dass es auch "allgemein" funktioniert!
Wenn wir schon dabei sind... Folgendes Problem kann ich ebenfalls (noch) nicht lösen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_p21.JPG
Folgendes habe ich bereits gefunden:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_p2.JPG
Bin dankbar um weitere Tipps!
LG
Schneepirat
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-06
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Hallo
Tip:Satz des Thales, Verlängere dazu die Seite, die das Dreieck teilt.
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Schneepirat
Junior
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06
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Danke schon mal für den Tipp. Ich habe damit einen neuen Winkel (rot) gefunden und weiss, dass bei Punkt A ein rechter Winkel ist.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_t.JPG
Und dann?!?
LG Schneepirat
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3107
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-06
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Hallo
Das Dreieck CED ist gleichschenklig, weil es mit dem Kreisbogen in Verbindung steht. Die Basiswinkel lassen sich über Nebenwinkelsatz und Zentriewinkelsatz in Abhängigkeit von Gamma aufstellen. Überlege dir welche Größe der Winkel EBD hat (Innenwinkelsumme, Nebenwinkelsatz). Über die Innenwinkelsumme von CED kommst du auf Gamma.
Gruß Caban
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Schneepirat
Junior
Dabei seit: 26.07.2018
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-06
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Vielen Dank für die tollen Hinweise. Echt Klasse, wie du das so schnell gefunden hast!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50360_final.JPG
Für den Winkel Epsilon (AEC) erhalte ich den Ausdruck 123°-Gamma. Über Nebenwinkel und Innenwinkelsumme sieht man, dass der Winkel Delta bei C (123°-Gamma)/2 ist. Winkel Beta ist halb so gross, also (123°-Gamma)/4.
Dein zweiter Tipp führt zu Beta=90°-Gamma über die Innenwinkelsumme in ABD.
Nun kann man beide Ausdrücke für Beta gleichsetzen:
(123°-Gamma)/4 = 90°-Gamma
Man erhält Gamma = 79°, die korrekte Lösung.
Wow, das war echt schwer! Ohne deine Unterstützung hätte ich das nicht geschafft. Herzlichen Dank.
LG
Schneepirat
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the
Junior 
Dabei seit: 23.01.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-07
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Mir ist noch nicht ganz klar wieso beim ersten Thema der Winkel ß=30° sein soll? Kann man mir das etwas genauer erklären?
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.10, eingetragen 2019-10-07
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Hallo
Es ist ein gleichschenkliges Dreieck mit 120° als Winkel in der Spitze.
Dadurch haben die Basiswinkel eine Größe von 30 °.
Gruß Caban
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the
Junior
Dabei seit: 23.01.2019
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-07
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Oho, und wieso ist das Dreieck gleichschenkig?
Dazu müsste das untere Dreieck und das obere Dreieck kongruent sein.
Die haben ja aber nur den Winkel alpha gemeinsam.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2019-10-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,
\quoteon(2019-10-07 12:23 - the in Beitrag No. 11)
Oho, und wieso ist das Dreieck gleichschenkig?
Dazu müsste das untere Dreieck und das obere Dreieck kongruent sein.
Die haben ja aber nur den Winkel alpha gemeinsam.
\quoteoff
das sind sie ja auch, da beide Strecken den Winkel \(\alpha\) mit dem Kreisdurchmesser bilden. Das untere Dreieck geht also durch Spiegelung am Durchmesser aus dem oberen hervor. Und das der verlängerte Strahl gleichzeitig hier wieder Dreieckseite ist, liegt eben daran, dass \(\alpha=60^{\circ}\) ist.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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