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Strukturen und Algebra » Gruppen » Expanding maps as endomorphisms of S^1?
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Universität/Hochschule J Expanding maps as endomorphisms of S^1?
Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-14


Hi everybody,

I have a short question concerning the following text passage of a textbook:

"Consider the following noninvertible map $E_2$ of the circle: in multiplicative notation \[E_2(z)=z^2,\qquad \left|z\right|=1\] or in additive notation \[E_2(x)=2x \quad \left(\text{mod $1$}\right).\] Algebraically this map represents an endomorphism of the group $S^1=\mathbb R/\mathbb Z$ onto itself. Geometrically it is a double cover of $S^1$."

$>$ Okay, why is the map $E_2: S^1\rightarrow S^1$ supposed to be an endomorphism? For that, it must hold that $E_2(x\mathbb Z \circ y\mathbb Z) = E_2(x\mathbb Z)\circ E_2(y\mathbb Z)$.

But how can I write down the "effect" of the map $E_2$ in terms of cosets? I first thought that $x\mathbb Z\matpsto 2x\mathbb Z$; however, I don't think so anymore, since $x\mathbb Z = 2x\mathbb Z$, or not?  


-- Neymar  




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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-14


Hallo,

es hilft, sich erstmal klarzumachen, was hier mit multiplikativer und additiver Notation gemeint ist. Du kannst $S^1$ einmal als Einheitskreis in der komplexen Ebene mit Multiplikation ansehen, dann schreibst du zweckmäßigerweise die Verknüpfung als Multiplikation. Oder du kannst es als Quotientengruppe $\IR/\IZ$ ansehen, dann ist es die Addition (bzw. die von der Addition auf $\IR$ induzierte Addition von Nebenklassen.) Du scheinst dich für letzteres zu interessieren. Dann solltest du die Nebenklassen aber auch additiv schreiben: $x + \IZ$.

Nun setzt man einfach ein: $E_2(x + \IZ) = 2(x + \IZ) = 2x + \IZ$.

Du kannst nun einfach nachrechnen, dass $E_2((x+\IZ) + (y+\IZ)) = E_2(x+\IZ) + E_2(y+\IZ)$ gilt.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-14


Das hat mit der konkreten Gruppe hier (der Kreisgruppe) nichts zu tun.

Für jede abelsche Gruppe $(A,+)$ hat man den Endomorphismus $f : (A,+) \to (A,+)$, $f(a) := 2 \cdot a = a + a$. Oder halt (das ist derselbe mathematische Inhalt) für multiplikativ geschriebene abelsche Gruppen $(A,*)$ den Endomorphismus $f : (A,*) \to (A,*)$, $f(a) = a^2 := a * a$.



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Neymar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-16


Okay, ich glaube, dass ich mittlerweile meinen eigenen Denkfehler verstehe.

Im Buch (vgl. Themenstart) wird die additiv-geschriebene Notation nicht mit $(x \ \text{mod} \ 1)+\mathbb Z$ aufgeschrieben, sondern nur mit $x$. Als Anfänger war ich da aber erst einmal verwirrt, weil ich die Nebenklassen vermisst habe (und bei meinem eigenen Versuch habe ich, wie ihr mich darauf hingewiesen habt, eine ungünstige Schreibweise gewählt, $(x \ \text{mod} \ 1)+\mathbb Z$ ist besser).

Danke euch beiden.

-- Neymar

 






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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-17


$(x \bmod 1) + \IZ$ ist zu viel des Guten. Schreibe $x \bmod 1$ oder $ x + \IZ$.



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Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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