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Mathematik » Analysis » Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant
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Universität/Hochschule J Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant
HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-14


Hallo,

ich probiere gerade zu zeigen, dass wenn eine komplexe Funktion $f(z)$ analytisch auf $D$ ist und $|f(z)|$ konstant, dass dann auch $f(z)$ konstant ist.
Und dabei sollen nur Cauchy-Riemann-Gleichungen verwendet werden.

Wie zeigt man das richtig?

Ich schreibe hier mal meine Umformungen auf. Ich komme am Ende aber leider nicht mehr weiter.

$\frac{d}{dz} |f(z)|^2 = \frac{\partial}{\partial z}(u^2+v^2) =\frac{\partial}{\partial x}(u^2+v^2)+i \frac{\partial}{\partial y}(u^2+v^2)$

Das dann abgeleitet mit der Kettenregel ist

$=2uu_x+2vv_x+i(2uu_y+2vv_y)$.
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich habe die Cauchy-Riemann Gleichungen eingesetzt und umgeformt. Das ergab
$2u(v_y-iv_x)-2v(u_y-u_x)$.

Ist der Weg überhaupt richtig? Wenn ja, wie geht es weiter? Wenn nicht, wie geht es sonst?



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-15


hallo,
ich denke, du bist auf dem richtigen weg. allerdings solltest du beim 2. term der letzten gleichung nicht die cauchy-riemann-gleichungen einsetzen, sondern lediglich ein i vor die klammer bringen.
bye trunx


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das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


Vor die Klammer oder in die Klammer nach dem Minus?
Ich wollte vor $u_x$ ein $i$ schreiben, hatte nur vergessen es einzutippen.

Wenn ich für den letzten Term in der letzten Gleichung die Cauchy-Riemann nicht verwende und das $i$ an die Stelle füge, an die ich denke dass es gehört würde ich erhalten:

$2u(v_y-iv_x)-2v(u_y-iv_y)$. Ist das richtig oder meintest du, dass das $i$ wirklich nach $2v$ vor die Klammer sollte? Wenn ja, Warum? Und wie muss dann weitergemacht werden?

Und wenn das so richtig ist wie ich es jetzt in der Zeile gerade geschrieben  habe, wie geht es weiter?






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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-15

\(\begingroup\)\( \usepackage{setspace}\)
es sollte so aussehen, wenn du im zweiten Term auf die Ersetzung verzichtest:
\(2 u (v_y - i v_x) + 2 v (v_x + i v_y)\)
jetzt klammerst du im zweiten Term ein i aus, bringst es also vor die Klammer und erhältst:
\(2 u (v_y - i v_x) + 2 i v (v_y - i v_x)\)

wie jetzt weiter? Beachte auch, dass das Ergebnis der Ableitung, die du ja berechnet hast, bekannt ist, nämlich?


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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


Die Ableitung ist 0, da $|f(z)|$ ja konstant ist.
Hieraus erhalten wir dann, dass $2u(v_y-iv_x)=-2iv(v_y-iv_x)$. Aber was bringt uns das dann?



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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


Oder geht es darum, dass $(2u+2iv)(v_y-iv_x)=0$ ist?



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-15

\(\begingroup\)\( \usepackage{setspace}\)
ich würde anders weiter machen, nämlich gemeinsame Faktoren ausklammern, also:
\(2 u (v_y - i v_x) + 2 i v (v_y - i v_x) = 2 (u + i v) (v_y - i v_x) = 0\)

man könnte nun durch 2 dividieren, in der Essenz hast du jedenfalls ein Produkt, das 0 ist. Was bedeutet dies für die Faktoren?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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\(\endgroup\)


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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-15

\(\begingroup\)\( \usepackage{setspace}\)
2019-10-15 20:47 - HelLeon in Beitrag No. 5 schreibt:
Oder geht es darum, dass $(2u+2iv)(v_y-iv_x)=0$ ist?

ja, genau! die 2 könntest du auch ausklammern (siehe oben). Was ist denn \(u + i v\)?


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\(\endgroup\)


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HelLeon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-15


$u+iv$ ist $f$. Und das bedeutet, dass einer der Faktoren $0$ sein muss.
Also nehmen wir an, dass $u+iv \neq 0$ ist, da es sonst ohnehin konstant wäre.
Dann muss also $v_y-iv_x=0$ sein, was bedeutet dass $v_y=iv_x$. Und dies ist nur erfüllt, wenn beide Seiten 0 sind, da ja weder in $v_x$ noch in $v_y$ ein $i$ auftauchen kann. Damit ist der Imaginärteil konstant. Und mit den C.-R. Ungleichungen können wir das auch für $u$ folgern, womit der Realteil konstant wäre. Stimmt das so?



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-15


ja, genau :)


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