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Analysis » Maßtheorie » Nullmenge im R hoch n
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Universität/Hochschule Nullmenge im R hoch n
T1mor
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  Themenstart: 2019-10-20

Hallo miteinander, Ich brauche eure Hilfe :) Sei n >= 2 und \gamma :[0,1] -> \IR^n Lipschitz. Zeige, dass \gamma ([0,1]) eine Nullmenge im \IR^n ist. In der Übung haben wir bewiesen, dass das Bild einer Nullmenge unter einer Lipschitz-stetigen Funktion wieder eine Nullmenge ist. Dies würde ich ausnutzen, um zu zeigen, dass \gamma ([0,1]) eine Nullmenge ist. Dafür muss ich ja zeigen, dass das Intervall \ ([0,1]) im \IR^n eine Nullmenge ist. Dort weiß ich aber nicht weiter. Kann mir jemand helfen oder sagen, ob diese Herangehensweise überhaupt klappt? Dankeschön im Voraus

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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20

Hallo, das Intervall $[0,1]$ ist überhaupt keine Teilmenge von $\IR^n$ für $n\geq 2$, sondern von $\IR$. Und dort ist es natürlich auch keine Nullmenge.

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T1mor
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 7
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20

Habe nach etwas lesen das auch gemerkt. Höchstens $\IQ$ wäre in $\IR$ eine Nullmenge und dann auch wohl $\IQ^n$ in $\IR^n$. Welche andere Möglichkeit gäbe es denn die Behauptung zu beweisen? Ich komme da wirklich nicht weiter :-?

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-20

Grobe Idee (ich habe es nicht überprüft): Vielleicht findet man eine Lipschitz-stetige Funktion $f : \IR^n \to \IR^n$ mit $f(x,0,\dotsc,0) = \gamma(x)$ für $x \in [0,1]$. Weil $[0,1] \times \{0\}^{n-1}$ eine Nullmenge in $\IR^n$ ist, ist das Bild unter $f$ also eine Nullmenge in $\IR^n$. Aber das ist zugleich das Bild von $\gamma$.

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