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| Autor |
 konkrete Menge ist Jordan-Nullmenge |
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Bacchanal
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.12.2017
Mitteilungen: 21
 |  Themenstart: 2019-10-25
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Hallo ihr Lieben,
ich sitze gerade an einer Aufgabe, die mir zwar inhaltlich klar erscheint aber ich nicht genau weiß, wie ich sie zeigen soll.
Die Aufgabe lautet:
Zeige, dass die Menge
\[A=\left\{ \sum\limits^\infty_{n=1} \frac{a_n}{3^n} \vert a_n \in \{0,2\}\right\}
\]
eine Jordan-Nullmenge ist.
Meine Ideen:
- erstmal ist die Menge Beschränkt mit 0 als unterer Schranke und 3 als obere Schranke, da die Summe gegen 3 konvergiert, falls alle \(a_n=2\) sind.
-jetzt dachte ich mir, dass man zu jedem Element der Menge eine Umgebung findet, sodass ihre Länge kleiner ist als \(\frac{\epsilon}{n}\). Wenn man das aufsummiert, würde man eine Gesamtlänge von \(\epsilon\) erhalten und hätte gezeigt, dass es eine Jordan-Nullmenge ist. Leider soll man in der Aufgabe weiter zeigen, dass A überabzählbar ist, was meine Idee verwirft.
Ich hoffe mal, jemand hat eine gute Idee.
lg Bacchanal
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Bacchanal,
skizziere mal \(\left\{\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{a_n}{3^n} \vert a_n \in \{0,2\} ~\text{für}~ n\le N\right\}\)
für \(N=1,2,3\). Vielleicht siehst du dann, wie das funktioniert.
Wally\(\endgroup\)
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Bacchanal
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-25
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Meinst du, dass die Summe nur bis 1,2 und 3 laufen soll?
also
\[\left\{\sum\limits^1_{n=1}\frac{a_n}{3^n}\vert a_n\in\{0;2\}\right\}\cup \left\{\sum\limits^2_{n=1}\frac{a_n}{3^n}\vert a_n\in\{0;2\}\right\}\cup \left\{\sum\limits^3_{n=1}\frac{a_n}{3^n}\vert a_n\in\{0;2\}\right\}\\ = \{0;\frac{2}{3}\}\cup\{0;\frac{2}{9};\frac{2}{3};\frac{8}{9}\}\cup\{0;\frac{2}{27};\frac{2}{9};\frac{8}{27};\frac{2}{3};\frac{20}{27};\frac{8}{9};\frac{26}{27}\} \\
= \{0;\frac{2}{27};\frac{2}{9};\frac{8}{27};\frac{2}{3};\frac{20}{27};\frac{8}{9};\frac{26}{27}\}
\]
Ich vermute, es hat was mit der Cantormenge zu tun aber da dachte ich, wären es Intervalle. Das hier könnte der Rand der Cantormenge sein.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
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| Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-25
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Hallo,
nein, ich meinte, dass die Beschränkung de Koeffizienten nur für die ersten ein bis drei gültig wäre.
Mit "Cantormenge" liegst du schon richtig.
Wally
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Bacchanal
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-25
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ok also in etwa so:
\[\left\{\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{a_n}{3^n} \vert a_n \in \{0,2\} ~\text{für}~ n\le 1\right\}=\left\{\frac{a_1}{3}+\sum\limits^\infty_{n=2} \frac{a_n}{3^n} \vert a_1 \in \{0,2\} \right\}\\
\left\{\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{a_n}{3^n} \vert a_n \in \{0,2\} ~\text{für}~ n\le 2\right\}=\left\{\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\sum\limits^\infty_{n=3} \frac{a_n}{3^n} \vert a_{\{1;2\}} \in \{0,2\} \right\}\\
\left\{\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{a_n}{3^n} \vert a_n \in \{0,2\} ~\text{für}~ n\le 3\right\}=\left\{\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{9}+\frac{a_3}{27}+\sum\limits^\infty_{n=4} \frac{a_n}{3^n} \vert a_{\{1;2;3\}} \in \{0,2\} \right\}
\]
aber woher kommen dann die weiteren \(a_n\) und was müsste mir auffallen. Tut mir leid, ich steh gerade etwas auf dem Schlauch. Aber schon mal vielen Dank für deine Hilfe.
lg Bacchanal
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Wally
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-25
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Bacchanal
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-26
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Ich könnte die Werte in einem Zahlenstrahl aufzeichnen aber was mach ich mit dem Summenterm?
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