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Analysis » Maßtheorie » Lebesgue-Maß berechnen
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Universität/Hochschule Lebesgue-Maß berechnen
nakrama
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  Themenstart: 2019-10-27

Hallo, ich sitze an der folgenden Aufgabe zur Berechnung des Lebesque-Maß: a) $$ A = [0,2] ohne \mathbb{Q} $$ b) $$ A ={x \in \mathbb{R} : zu x ex. ein Polynom p(z)= \sum \limits_{k=0}^{n} a_k*z^k mit n \in \mathbb{N} und a_0,....,a_n \in \mathbb{Q}, a_n \neq 0 und p(x)=0} $$ c) das Cantorsche Diskontinuum C. zu c) $$ C := A \cap [0,1] $$ mit $$ A :=\bigcap_{n=0}^{\infty} A_n, A_n = 1/3 * A_{n-1},n \geq 1 $$ und $$ A_0 := \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[2k,2k+1] $$ Aus früheren Beweisen, weiß ich, dass C kompakt ist und aus den reellen Zahlen der Form $$ x = \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_k/3^k mit a_k = 0 \vee a_k = 2 $$ Bei a) bin ich mir ziemlich sicher, dass das Maß 2 ist, bei den anderen beiden hab ich leider noch keine Idee.. Danke im Voraus!

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-28

Hallo, zuerst möchte ich deinen Beitrag mal aufhübschen: \quoteon(2019-10-27 17:21 - nakrama im Themenstart) Hallo, ich sitze an der folgenden Aufgabe zur Berechnung des Lebesque-Maß: a) \[ A = [0,2] \setminus \mathbb{Q} \] b) \[ B = \{x \in \mathbb{R} : \text{es existiert $p\in \mathbb{Q}[X]$ mit $p(x)=0$ und $p\neq \mathbf{0}$}\}\] c) das Cantorsche Diskontinuum C. \quoteoff Für die a) musst du dir klar machen, dass $[0,2] \cap \mathbb{Q}$ nur abzählbar viele Punkte enthält. Somit hat $[0,2] \cap \mathbb{Q}$ das Maß Null. Für die b) zeige zuerst, dass es nur abzählbar viele Polynome mit rationalen Koeffizienten gibt. Mit Ausnahme des Nullpolynoms hat jedes dieser Polynome nur endlich viele Nullstellen. Insgesamt enthält $B$ also nur ...

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