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Analysis » Komplexe Zahlen » Komplexe Gleichung, Anstieg und Schnittpunkt mit y-Achse
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Universität/Hochschule J Komplexe Gleichung, Anstieg und Schnittpunkt mit y-Achse
maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-30


Bestimmen Sie den Anstieg und den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse , der die Lösungsmenge der nachfolgenden Gleichung darstellt:
fed-Code einblenden

Wie gehe ich hierbei nun vor?



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-30


Hallo
Setze z=i*y+x und löse die Betragsgleichung!

Gruß Caban



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-31


2019-10-30 22:57 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Setze z=i*y+x und löse die Betragsgleichung!

Na, wer wird denn gleich?  😄
Kann man natürlich machen. Diese "Einsetzmethode" kann, je nach Aufgabe, zu komplizierten Rechnungen oder aufwendigen Ergebnistermen führen, die schwer oder gar nicht interpretierbar sind.
Sofern möglich sollte immer erstmal ein eleganter Ansatz versucht werden, und zwar durch Verwendung der allgemeinen Beziehungen, die für komplexe Zahlen, Argumente, Beträge und Konjugate gelten.


2019-10-30 22:51 - maxmustermann9991 im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Beachte, dass die Gerade in der Form $|z-\alpha| = |z-\beta|$ vorgelegt ist; diese Form ist im Übrigen auch zwingend notwendig dafür, dass die Gleichung eine Gerade beschreibt.


Satz: $|z-\alpha| = |z-\beta|$,    beschreibt eine im Allgemeinen schräge Nicht-Ursprungsgerade durch die Punkte    $
x_0 = \dfrac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{2 \bigl( \mathrm{Re}[\alpha] -\mathrm{Re}(\beta] \bigr)} + 0i,~
\text{ sofern } \mathrm{Re}[\alpha] \neq \mathrm{Re}[\beta]
$   und    $
y_0 = 0+\dfrac{|\alpha|^2-|\beta|^2}{2 \bigl( \mathrm{Im}[\alpha] -\mathrm{Im}[\beta] \bigr)}\, i,~
\text{ sofern } \mathrm{Im}[\alpha] \neq \mathrm{Im}[\beta]
$.


Beweis.
· Die Gleichung $|z-a| = |z-b|$ beschreibt eine Gerade in der komplexen Zahlenebene.

Beweis: $|z-a| = |z-b|$  beschreibt die Mittelsenkrechte der Strecke mit den Endpunkten $a$ und $b$.
<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\Rea}{0}
\pgfmathsetmacro{\Ima}{0}
\pgfmathsetmacro{\Reb}{5}
\pgfmathsetmacro{\Imb}{1}

\pgfmathsetmacro{\Rez}{1}
\pgfmathsetmacro{\Imz}{4}


% Gerade
\coordinate[label=below:$a$] (A) at (\Rea,\Ima);
\coordinate[label=right:$b$] (B) at (\Reb,\Imb);
\coordinate[label=] (M) at ($(A)!0.5!(B)$);
\draw[shorten >=-0 cm, shorten <=-0 cm] (A) -- (B);

\draw[shorten >=-2 cm, shorten <=-2 cm] (M) -- ($(M)!2cm!90:(B)$) coordinate[label=45:$z$](Z);

\draw[densely dashed] (A) -- (Z) node[midway, sloped, above]{\rotatebox{0}{$|z-a|$}};
\draw[densely dashed] (B) -- (Z) node[midway, sloped, above]{$|z-b|$};

\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =B--M--Z};

%% Punkte
\foreach \P in {A,B,Z} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{tikzpicture}
</math>


· Die durch $|z-a| = |z-b|$ beschriebene Gerade hat die Achsenabschnitte
$
x_0 = \dfrac{|a|^2-|b|^2}{2 \bigl( \mathrm{Re}[a] -\mathrm{Re}[b] \bigr)} + 0i,~
\text{ sofern } \mathrm{Re}[a] \neq \mathrm{Re}[b]
$   und    $
y_0 = 0+\dfrac{|a|^2-|b|^2}{2 \bigl( \mathrm{Im}[a] -\mathrm{Im}[b] \bigr)}\, i,~
\text{ sofern } \mathrm{Im}[a] \neq \mathrm{Im}[b]
$.

Beweis: $|z-a| =|z-b| ~\Rightarrow~  |z-a|^2 =|z-b|^2$
$\Leftrightarrow~ (z-a)(z-a)^* = (z-b)(z-b)^*$
$\Leftrightarrow~ (z-a)(z^*-a^*) = (z-b)(z^*-b^*)$
$\Leftrightarrow~ zz^* -za^* -z^*a +aa^* = zz^* -zb^* -z^*b +bb^*$
$\Leftrightarrow~ |a|^2 -(za^* +z^*a)  = |b|^2  -(zb^* +z^*b)$
$\Leftrightarrow~ |a|^2 -(za^* +(za^*)^*)  = |b|^2  -(zb^* +(zb^*)^*)$
$\Leftrightarrow~
|a|^2 -2\,\mathrm{Re}\left[z\cdot a^* \right]  
= |b|^2  -2\,\mathrm{Re}\left[zb^* \right]$
$\Leftrightarrow~
|a|^2 - |b|^2 = 2\,\mathrm{Re}\left[za^* \right]  
 -2\,\mathrm{Re}\left[zb^* \right]$

$\Leftrightarrow~ |a|^2 - |b|^2 = 2\,\mathrm{Re}\left[z\cdot (a^* -b^*) \right]$

Für $\mathrm{Im}[z]=0$  wird $z=\mathrm{Re}[z]=: x_0$
$\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & |a|^2 - |b|^2 & = 2\,\mathrm{Re}\left[x_0 \cdot (a^* -b^*) \right] \\
& & = x_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[a^*\right] -\mathrm{Re}\left[b^*\right]  \bigr) \\
& & = x_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[a\right] -\mathrm{Re}\left[b\right]  \bigr)
\hspace{4em} \square
\end{array}$

Für $\mathrm{Re}[z]=0$  wird $z=i\, \mathrm{Im}[z]=: i\, y_0$
$\begin{array}{l l l}
\Rightarrow & |a|^2 - |b|^2 & = 2\,\mathrm{Re}\left[i\, y_0 \cdot (a^* -b^*) \right] \\
& & = y_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Re}\left[i\,  a^*\right] -\mathrm{Re}\left[i\, b^*\right]  \bigr) \\
& & = y_0\cdot 2\,\bigl( \mathrm{Im}\left[a\right] -\mathrm{Im}\left[b\right]  \bigr)
\hspace{4em} \square
\end{array}$
(da $\mathrm{Re}[i\, z]=-\mathrm{Im}[z]$ bzw. $\mathrm{Re}[i\, z^*]=\mathrm{Im}[z]$)

<math>
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]

% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\Realpha}{0.4}
\pgfmathsetmacro{\Imalpha}{1.4}
\pgfmathsetmacro{\Rebeta}{0.8}
\pgfmathsetmacro{\Imbeta}{-2}

%\pgfmathsetmacro{\s}{6}
\pgfmathsetmacro{\v}{1.7}  % Verlngerungsfaktor Gerade
\pgfmathsetmacro{\Xmin}{-3.5}
\pgfmathsetmacro{\Xmax}{5}
\pgfmathsetmacro{\Ymin}{-2}
\pgfmathsetmacro{\Ymax}{2}

% Berechnete Gren
% Gerade - Achsenabschnitte
%\pgfmathsetmacro{\yNull}{((\Realpha^2+\Imalpha^2)-(\Rebeta^2+\Imbeta^2))/(2*(\Imalpha-\Imbeta))} % Geht nicht richtig mit Potenzen!
\pgfmathsetmacro{\xNull}{((\Realpha*\Realpha+\Imalpha*\Imalpha)-(\Rebeta*\Rebeta+\Imbeta*\Imbeta))/(2*(\Realpha-\Rebeta))}
\pgfmathsetmacro{\yNull}{((\Realpha*\Realpha+\Imalpha*\Imalpha)-(\Rebeta*\Rebeta+\Imbeta*\Imbeta))/(2*(\Imalpha-\Imbeta))}

% Imaginrteil anzeigen
\newcommand\Show[1]{%
\pgfmathsetmacro{\temp}{#1<0 ? (#1==-1 ? "-" : "#1") : (#1==1 ? "+" :  "+#1")}%
\temp\, i}
%\Show{5}

% Rechenterme
\def\ARechenterm{\dfrac{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rea+\Ima\, i)+(\Reb+\Imb\, i)}{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)} }
\def\BRechenterm{ \dfrac{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rea+\Ima\, i)+(\Reb+\Imb\, i)}{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)} }
\def\CRechenterm{\left| \dfrac{(\Rebeta+\Imbeta\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)}{(\Realpha+\Imalpha\, i) (\Rec+\Imc\, i)+(\Red+\Imd\, i)}  \right|}


% KoSy
\begin{scope}[local bounding box=Graph]
\draw[-latex] (\Xmin,0) -- (\Xmax,0) node[below]{Re};
\draw[-latex] (0,\Ymin) -- (0,\Ymax) node[left]{Im};

\foreach \x in {1} \draw[xshift=\x cm] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below]{\x};
\foreach \y in {1} \draw[yshift=\y cm] (2pt,0) -- (-2pt,0) node[left]{\y};
\end{scope}

% Annotationen - Rechnung
\begin{scope}[shift={(Graph.south west)}, anchor=north west, local bounding box=Annotation]
\node[yshift=-1em]{
$\begin{array}{ l}
|z-\alpha|=|z-\beta|,~
\text{mit } \alpha,\beta \in\mathbb{C} \\
%
\alpha = \Realpha  \Show{\Imalpha},~~ \beta = \Rebeta  \Show{\Imbeta}  \\
x_0 = \xNull + 0\,i   \\
y_0 = 0  \Show{\yNull} \\[1em]
|z-(\Realpha  \Show{\Imalpha}  )|=|z-(\Rebeta \Show{\Imbeta})| \\
\end{array}$
};
\end{scope}

%\draw[red] (Graph.north west) rectangle (Annotation.south east);
%\clip[]  (Graph.north west) rectangle (Annotation.south east);

% Gerade
\coordinate[label=below:$x_0$] (X0) at (\xNull,0);
\coordinate[label=left:$y_0$] (Y0) at (0,\yNull);
\draw[red, shorten >=-2*\v cm, shorten <=-\v cm] (X0) -- (Y0);
% Konstruktionspunkte
\coordinate[label=right:$\alpha$] (Alpha) at (\Realpha,\Imalpha);
\coordinate[label=right:$\beta$] (Beta) at (\Rebeta,\Imbeta);
\draw[] (Alpha) -- (Beta);
\foreach \P in {Alpha,Beta} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


%% Punkte
\foreach \P in {X0,Y0} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>


PS: Die Steigung folgt als triviale Rechnung aus den Achsenabschnitten.



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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01


2019-10-30 22:57 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo
Setze z=i*y+x und löse die Betragsgleichung!

Gruß Caban

Dann komme ich auf folgendes Ergebnis:
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Ich habe die Betragsstriche einfach weggelassen ganz zu Beginn, weil ich nicht wusste, wie ich die mitschleppen soll.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist ganz falsch. Schaue dir bitte nochmals die Definition des Betrags einer komplexen Zahl an:

\[|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\]
Das wende an, dann gibt es auch kein i mehr in der resultierenden Gleichung...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-11-01 18:32 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:

\[|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\]


Werde wohl noch einen weiteren Denkanstoß benötigen, da ich nicht weiterkomme.

fed-Code einblenden

Was mache ich mit den 17i? Die verschwinden irgendwie nicht...
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist nach wie vor falsch. Du musst zunächst die Beträge auf beiden Seiten getrennt berechnen, dann die Gleichung quadrieren, um die Wurzelzeichen loszuwerden.

Und dann einmal scharf hinsehen um zu erkennen, weshalb hier überhaupt eine lineare Gleichung entsteht, die man leicht nach y auflöst.

Der Betrag auf der linken Seite berechnet sich so:

\[\ba
\left|-5z+2-7i\right|&=\left|-5(x+iy)+2-7i\right|\\
\\
&=\left|-5x+2-5iy-7i\right|\\
\\
&=\left|(2-5x)-i(5y+7)\right|\\
\\
&=\left|(2-5x)+i(5y+7)\right|\quad\text{(konjugiert komplexe Zahlen haben gleichen Betrag)}\\
\\
&=\sqrt{(2-5x)^2+(5y+7)^2}
\ea\]
Vergleichbar gehst du jetzt auf der rechten Seite vor und arbeitest die oben angegebenen Punkte ab.

Ich kann mich entsinnen: du bist derjenige, welcher gerne Übungsaufgaben im Voraus erledigt. Ich kenne dein Motiv dazu jetzt nicht und kann dir nicht raten, ob das klug ist oder nicht (außerdem ist es deine Sache). Ich würde dir aber für diese Praxis dringend ein passendes Lehrbuch als Hilfsmittel empfehlen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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maxmustermann9991
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Dann sollte ich zum Schluss auf folgende Gleichung kommen:

fed-Code einblenden

Dementsprechend ist die Steigung fed-Code einblenden
und der Schnitt mit der y-Achse:
fed-Code einblenden


Exakt derjenige bin ich gewesen. :D
Naja, wenn ich mich etwas im Voraus damit beschäftige, wie ich es jetzt tue, dann fällt es mir leichter der Vorlesung zu folgen, da unser Prof das Ganze im Affenzahn durchnimmt.



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PS: Doch, deine Gerade ist korrekt.




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@Caban: die Geradengleichung in #7 stimmt. In Beitrag #2 steckt ein Vorzeichenfehler, das scheint mir hier das Problem zu sein...


Gruß, Diophant



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