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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » ... eine zwei-dimensionale Sicht auf Goldbachs (starke) Vermutung
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Kein bestimmter Bereich ... eine zwei-dimensionale Sicht auf Goldbachs (starke) Vermutung
PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-03


Hallo MathFans !

In den vergangenen beiden Posts hab ich versucht die Zusammenhänge zw. der ‚Allgemeinen Teilerfläche‘ und Primzahl-Zwillingen/-Vierlingen bzw. der Faktorisierungsmethode von Fermat aufzuzeigen.
Dieses Mal möchte ich die ‚Allgemeine Teilerfläche‘ (in der Standard- und transformierten Form) nutzen um ‚Goldbachs starke Vermutung‘ zu visualisieren.

Zunächst der Wortlaut der Vermutung:
==> Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen! <==

Anmerkung:
Die Primzahl 2 hab ich bei allen weiteren Betrachtungen ausgenommen (weil sie nur zur Bildung der Zahl $4 = 2 + 2$ genutzt werden kann).

Los geht’s mit der Standard-Teilerfläche:


--> Der Zahlenstrahl ist, wie immer, auf der Y-Achse aufgetragen.
--> Die natürlichen Teiler sind auf der X-Achse aufgetragen.
--> Jede natürliche Teilbarkeit ist als ein Teiler-Punkt in der Fläche erkennbar.

Die Verbindungen zw. allen Teiler-Punkten sind über
-        Geraden der Form $tx$ und
-        Parabeln der Form $–x^2 + (t1 + t2)x$
gegeben ($t, t1, t2 =$ Teiler).

Zur Untersuchung der Fragestellung
==> Auf welche Weise kann die Zahl 32 aus 2 Primzahlen additiv zusammen gesetzt werden ? <==
ist die Parabel $–x^2 + 32x$ farblich violett hervor gehoben.

--> Es existieren genau 2 Lösungen:
    $32 = 13 + 19$
    $32 =  3 + 29$

Warum es nur diese beiden Lösungen geben kann wird deutlicher, wenn die Darstellung auf das Wesentliche reduziert wird.


--> Jetzt ist nur noch die Parabel $–x^2 + 32x$ und die Geraden der Form $px$ zu sehen.
--> Lösungen sind dann gegeben, wenn der (positive) Schnittpunkt dieser Parabel mit einer Geraden $px$ (mit p = Prim-Zahlen 3,5,7 u.s.w.) eine Primzahl-X-Koordinate aufweist.

Beispiel:
$-x^2 + 32x = 3x$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(29,3*29=87)$.

Zu guter Letzt möchte ich noch eine Darstellung beisteuern, die ALLE Goldbach’schen Lösungen zu ALLEN geraden Zahlen OHNE Redundanzen aufzeigt.

--> Grundlage ist eine transformierte allgemeine Teilerfläche.
--> ALLE Parabeln der Form $–x^2  + (t1 + t2)x$ hab ich soweit ‚nach links verschoben‘, dass der Scheitelpunkt dieser Parabeln jeweils auf der Y-Achse zum Liegen kommt (eingeschränkt auf Parabeln mit $t1 + t2 =$ gerade).


--> JEDE Parabel repräsentiert eine gerade Zahl !
--> Die aus der Transformation entstandenen ‚Prim-Geraden‘ haben die Form $2px + p^2$ bzw. $-2px + p^2$.

Beispiel-Zahl 32:
 
1. Lösung:
$-x^2 + (32/2)^2 = 2*3x + 3^2$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(13,3*29=87)$ und der Differenz $2*13 = 26 = 29–3$.
2. Lösung:
$-x^2 + (32/2)^2 = 2*13x + 13^2$ führt zum (positiven) Schnittpunkt $S(3,13*19=247)$ und der Differenz $2*3 = 6 = 19–13$.

==> Die Schnittpunkte der 'Prim-Geraden' auf DIESER und ALLEN ANDEREN Parabeln liefern AUSSCHLIESSLICH ZULÄSSIGE LÖSUNGEN der additiven Zerlegung gerader Zahlen in 2 Primzahlen !

Anmerkung:
--> Die X-Achse repräsentiert jetzt NICHT MEHR die Teiler einer Zahl, sondern gibt die (halbe) Differenz zwischen den beiden Teilern einer Zahl wieder.



Fazit:
--> Die (starke) Goldbach’sche Vermutung wäre FALSCH, wenn es irgendwo eine Parabel gäbe gänzlich OHNE SCHNITTPUNKTE der ‚Prim-Geraden‘ !?

Es bleibt also ‚nur noch‘ zu beweisen, dass der ‚Platz für Schnittpunkte auf den Parabeln‘ stärker wächst als die Anzahl der Primzahlen abnimmt  :-D

Viele Grüße !
PriMath




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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-07


wenn du einen Zwilling (p,p+2 )kennst mit dem Millelwert n=p+1

so ist
a=p
b=p+2

c=a+b=c= 2p+2=2n.

Vorrausgesetzt man weiss was ein radikal ist,
$abc= p(p+2)\cdot (2p+2)= (p^2+2p)\cdot (2p+2)=p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc) \le abc /2$, da b gerade.

Bei Zwillingspaerchen sind a.b,c teilerfremd. Aber a+b gerade.
Die Partition von 2n in p(p+2) hat das maximale radikal rad (abc)/2,
Nach Goldbach kann man jedes gerade  n so in (p-1)(p+1) splitten , dass

$rad(abc)=abc/2$ maximal. da n immer durch 2 teilbar.

So kannst du, Golbach vorrausgesetzt, Partitionen von jeder geraden Zahl z.B. 18 = (n-1)(n+1)=17+19 bilden, so dass $abc=5814$, aber $rad(abc)=2*3*17*18= 1938=abc/4$. rad (abc) maximal.

Gäbe es nun gerade n mit $n = (p-3)(p+3)$ so wäre rad(abc) maximal $(p-3)(p+3)*n=(P^2-9)*n/2^k= (P^2-9)*n$ wesentlich kleiner als
$(p-1)(p+1)*n=(P^2-1)*n/2^k= (P^2-1)*n$.
Ich will hier und kann nichts beweisen und habe das auch noch nicht zu ende gedacht,
aber es gibt einen Zusammenhang der abc-vermutung zur Goldbachvernutung.

Also $\frac{rad(abc)}{c}$  kann nur maximal fuer jeses festes gerades c=n werden, wenn Goldbach stimmt.



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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-09


Hallo juergenX,
die Frage nach den Zusammenhängen zw. Goldbach- und abc-Vermutung ist interessant. Mir war gar nicht aufgefallen, dass meine Beispielzahl 32 der zweite abc-Treffer ist.

$a=5, b=27=3^2, c=32=2^5, rad(abc)=2*3*5=30 < 32$

Ich denke, in deinem post haben sich noch'n paar Tipp-Fehler eingeschlichen ;-)

$abc=p(p+2)⋅(2p+2)=(p^2+2p)⋅(2p+2)=p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc)≤abc/2$, da $b$ gerade.
...
Nach Goldbach kann man jedes gerade  $n$ so in $(p-1)(p+1)$ splitten , dass $rad(abc)=abc/2$ maximal, da $n$ immer durch $2$ teilbar.


So sollte es korrekt sein:
$abc=p(p+2)⋅(2p+2)=(p^2+2p)⋅(2p+2)=2p^3+4p^2+2p^2+4p$
und das Radikal $rad(abc)≤abc/2$, da $c$ gerade.
...
Nach Goldbach kann man jedes gerade  $n$ so in $(t-1)(t+1)$ splitten , dass $rad(abc)=abc/2$ maximal, da $n$ immer durch $2$ teilbar.

Wenn man jedes gerade $n$ in $(p-1)(p+1)$ (mit p=prim) splitten könnte gäb's keine offene Primzahl-Zwillingsvermutung ;-)

Übrigens, diese Darstellung (von Adam Cunningham und John Ringland) liefert ebenfalls ALLE 'Goldbach-Kombinationen' (nur nicht in der Teiler-Fläche) ;-)
hier


Viele Grüße !
PriMath



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-12


2019-11-09 14:24 - PriMath in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo juergenX,
..
Nach Goldbach kann man jedes gerade  n so in (t−1)(t+1) splitten , dass rad(abc)=abc/2 maximal, da n immer durch 2 teilbar.



p+p+2=2p+2
p+1=n

Es ist sogar rad(abc)=abc/4  maximal, da n gerade und n/2 gerade.
z.B. 11+13=24
rad(11,13,24) ist hier sogar nur 11*13*2*3=858.
abc = 3432.
c=2n =24

$\frac{rad(abc)}{c}) = \frac{858}{24} = 35.75$,

Fuer vorgegebenes c = 24 ist das der maxinal erreichbare Bruch.
Fuer jedes vorgegebene gerade c ist der maxinal erreichbare Bruch bestimmbar nach Goldbach.
Die Partition a+b=c ,c gerade  a,b, prim hat immer das maximale radikal(abc) und existiert immer!

Es gibt noch eine Aussage wie die Zwillingspaerchen mod 16 aufgeteilt sind.

Ich weiss da eben noch keine weiteren Schluesse zu machen

J



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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17


Hallo juergenX,

ich denke, Annahmen und bewiesene Erkenntnisse sollten wir strikt auseinander halten.

...
Fuer jedes vorgegebene gerade c ist der maxinal erreichbare Bruch bestimmbar nach Goldbach. (???)
Die Partition a+b=c ,c gerade  a,b, prim hat immer das maximale radikal(abc) und existiert immer! (???)
...


--> Goldbachs und die Primzahl-Zwillings-Vermutung sind (noch) nicht bewiesen!
Zur Zwillingsvermutung hatte ich schon mal folgende Argumente formuliert:
--> ... eine zwei-dimensionale Sicht auf (unendlich viele ?!) Primzahlen, -Zwillinge und -Vierlinge !
 
Bitte beachte folgende Restriktionen:
--> In der Mitte von Primzahl-Zwillingen stehen immer nur gerade Zahl, die durch $6$ teilbar sind (weil alle Primzahlen, außer der $2$ und der $3$, 'Nachbarn' des Vielfachen von $6$ sind)!
--> D.h., $2/3$ aller GERADEN Zahlen können NICHT 'von Primzahlen umrahmt' sein !
--> Und eine durch $6$ teilbare Zahl muss NICHT ZWINGEND von Primzahlen umgeben sein !
--> Die erste durch $6$ teilbare Zahl, die BEIDSEITIG KEINE Primzahl-Nachbarn hat ist die $120$.

$a=119=7*17$,  $b=121=11^2$,  $c=240=2^4*3*5$,  $rad(abc)=2*3*5*7*11*17=39270$

In einem hast du natürlich recht:
--> WENN (!) ein $c/2$ zwischen zwei Primzahlen $(c/2)-1$ und $(c/2)+1$ liegt ist $rad(abc)$ für dieses $c$ maximal.

Viele Grüße !
PriMath



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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-27


2019-11-17 11:52 - PriMath in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo juergenX,

ich denke, Annahmen und bewiesene Erkenntnisse sollten wir strikt auseinander halten.
.
.

$a=119=7*17$,  $b=121=11^2$,  $c=240=2^4*3*5$,  $rad(abc)=2*3*5*7*11*17=39270$

In einem hast du natürlich recht:
--> WENN (!) ein $c/2$ zwischen zwei Primzahlen $(c/2)-1$ und $(c/2)+1$ liegt ist $rad(abc)$ für dieses $c$ maximal.

Viele Grüße !
PriMath
Urspruenglich sagte man $\displaystyle log(c)$ kann beliebig groesser als $rad(abc)$ werden. Ein Beispiel siehe unten.

Die VERMUTUNG $\displaystyle log(c) < log(K_\epsilon) + (1+\epsilon)*rad(abc)$  sagt etwas aus darueber wie klein $\displaystyle rad(abc)$ bezogen auf c werden kann.
Eben nicht beliebig klein, oder $\displaystyle c/rad(abc)^{1+\epsilon}$ nicht beliebig gross.

$\displaystyle q = log(c)/log(rad(abc))$ wird  auch als Qualitaet des Tripels bezeichnet.
Wieso man da Logarithmus einfuehrte weiss ich nicht.
Das groesste bisher berechnete q im Bereich bis $\displaystyle 2^{64}$ ist $\displaystyle 2 + 3^{10}*109  =  23^5$. mit q = ca. 1.6...
Aber es gibt groessere $\displaystyle q = log(c)/log(rad(abc))$ der Art $\displaystyle 1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$ mit sehr kleinen $\displaystyle log(rad(abc))$ unter anderem dadurch dass $\displaystyle rad(c)=3$ fuer beliebige k bleibt. Aber auch da existiert fuer epsilon>0 ein  $(K_\epsilon)$, so das $\displaystyle log(c) < log(K_\epsilon) + ((1+\epsilon)) rad(abc)$
Das q wurde oben fuer k=10 mal ausgerechnet. Ich weiss eben den logarithmischen q-Wert fuer k=10 nicht mehr aber er ist definitiv ueber 1.6...

Mit den Paerchen meinte ich es gibt Obergrenzen fuer $\displaystyle rad(abc)$ zB bei $\displaystyle 41+43=84 , rad(abc)=41*43*2^2*3*5$ noch besser wenn $\displaystyle \frac{a+b}{2}=42$ quadratfrei ist, was hier der seltene Fall ist.

So ist das eine Vermutung in die andere Richtung, also wie klein $\displaystyle \frac {c}{rad(abc)}$ werden kann. Ob das von Bedeutung ist weiss ich nicht...
Ich hoffe ich hab groesser/kleiner nicht durcheinander gebracht.
Und dann gibt es noch eine Aussage dass es nur endlich viel Tripel einer bestimmten Art gibt, was ich nicht verstanden habe.






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juergenX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-01


Was mir bei der ganzen Sache nicht klar ist:
 welche  Tripel wären möglich, wenn die abc vermutung FALSCH wäre ?
$\displaystyle a+b=c$,

$\displaystyle a=p_1^1\ldots p_k^{\lambda(k)}$.
$\displaystyle b=p_2^1\ldots p_l^{\lambda(l)}$.
$\displaystyle c=p_3^1\ldots p_m^{\lambda(m)}$.

waeren die Primzahlzerlegungen beliebeiger tripel wobei ihr ggt 1 ist was heisst dass in den 3 PFZ keine gleichen Primzahlfaktoren vorkommen  duerfen.
dann ist : $\displaystyle rad(abc)=\prod p_n$ mit $\displaystyle n=$ alle verschiedenen Basen in a,b und c.

Dieses Radikal wird dann klein, wenn die verschiedenen Exponenten $\displaystyle \lambda(k),\lambda(l),\lambda(m)$ gross werden
wie bei $\displaystyle 5^{14}*​19 +2^5​*3*7^13 = 11^7*​37^2​*353$.

wobei $\displaystyle log(c/log(rad(abc))\approx 1.4813...$ eine sehr hoher Wert ist , also ein ABC treffer weil $\displaystyle max(\lambda(k)=14,  max(\lambda(l)=13, max(\lambda(m)=7$.
Hier laesst sich fuer sagen wir $\displaystyle \epsilon =1.1$ ein  $K_\epsilon$ finden , so dass
(abc:)$\displaystyle c < K_\epsilon*rad(abc)^{1+\epsilon}$ gilt.

Das sag ich ohne es nachzurechnen, wie klein auch immer $\displaystyle rad(abc)^{1+\epsilon}$ wird, kann ich das $K_\epsilon$ bis ins unendliche erhoehen, so dass (abc:) gilt.
Also sagt (abc:) nichts ueber Unmoeglichkeiten aus. oder hoechste oder niedrigste Schranken fuer irgendwas...?!








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PriMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-09


Hallo Jürgen,

in deinem eigenen thread wurde ja schon viel zur abc-Vermutung gesagt.

Diese Infos könnt ich noch beisteuern:

A. Bedeutung der q(uality) eines abc-Triples

Def. abc-triple: $\frac{c}{rad(abc)}\ge 1$

Mit der Funktion log() wird bekanntlich ja nur die 'Anzahl der Stellen' in unserem 10er-Stellenwertsystem ermittelt (d.h. $log(10^n)=n$).

Def. $q($abc-triple$)$:$\frac{log(c)}{log(rad(abc))}\ge 1$

Die q-Werte sind einfach nur ein 'handliches Maß' für das Verhältnis von $c$ zu $rad(abc)$.

B. Zusammenhang zw. $q$ und $\epsilon$

Wenn der Exponent von $rad(abc)$ von $1$ um $\epsilon > 0$ erhöht wird hat das Auswirkungen auf die betrachteten $q$ (wenn $\epsilon > 0$ kommen nur noch $q$ mit irgendwas $> 1$ in Frage).

$\frac{log(c)}{log(rad(abc)^{(1)})} < \frac{log(c)}{log(rad(abc)^{(1+\epsilon)})} $

C. Die q-Werte für die abc-triple $a=1, b=3^{2^{k}}-1, c=3^{2^{k}}$ sind NICHT die größten

Die ersten fünf:
$a=1, b=2^3, c= 3^{2^{1}}, q=1.226$
$a=1, b=2^4*5, c= 3^{2^{2}}, q=1.292$
$a=1, b=2^5*5*41, c= 3^{2^{3}}, q=1.235$
$a=1, b=2^6*5*41*193, c= 3^{2^{4}}, q=1.42$
$a=1, b=2^7*5*41*193*21523361, c= 3^{2^{5}}, q=1.201$

D. Verteilung der q-Werte

Die homepage des abc-triple-Projektes liefert u.a. diese sehr schöne Aufbereitung:
hier



Interpretation:
--> Mit größer werdendem $c$ der abc-triple nehmen die q-Werte empirisch ab !
(es sind nur 3 abc-triple mit $q > 1.6$ bekannt, und man darf annehmen, dass es keine weiteren gibt)

Die abc-Vermutung kann deshalb auch so formuliert werden:
--> Es ist bewiesen, dass es unendlich viele abc-Triple mit $q \ge 1$ gibt (weil über $a=1, b=3^{2^{k}}-1, c=3^{2^{k}}$ unendlich viele abc-triple konstruiert werden können)!
--> ABER, gibt es auch unendlich viele abc-Triple mit $q > 1$ ???
(wg. Zusammenhang zw. $q$ und $\epsilon$ ist das gleichbedeutend mit der Frage $\epsilon > 0$)

Wenn man obiges Bild betrachtet muss man zum Schluss kommen - egal wo man eine Grenze für $q > 1$ zieht, die Menge der abc-triple SCHEINT ENDLICH  ???!!!

E. Mögliche Schlussfolgerungen zu den Primzahl-Faktoren von $a,b,c$

--> Hier hab ich nicht genügend Phantasie, um Rückschlüsse auf beteiligte Primzahl-Faktoren zu ziehen.
--> M.E. hat die Antwort auf die abc-Vermutung auf diese Frage aber KEINEN Einfluss.

Viele Grüße!
PriMath



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
juergenX
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Dabei seit: 08.07.2019
Mitteilungen: 274
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-15


2020-02-09 15:44 - PriMath in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Jürgen,

--> Mit größer werdendem $c$ der abc-triple nehmen die q-Werte empirisch ab !

Vielen Dank für Deine Mühe! wow:)
Offenbar und leicht zu sehen kommen da weiter rechts in dem Diagramm
q aufgetragen gegen $\displaystyle log(\log(c))$ keine höheren mehr, und dass dies "Kurve" aus kleine Balken schneller gegen die x-Achse geht als $\displaystyle q=f(c)=\frac{1}{log(\log(c))}$

Du sagst dann


Die abc-Vermutung kann deshalb auch so formuliert werden:

(1) --> Es ist bewiesen, dass es unendlich viele abc-Triple mit $q \ge 1$ gibt (weil über $\displaystyle a=1, b=3^{2^{k}}-1, c=3^{2^{k}}$ unendlich viele abc-triple konstruiert werden können)!
(2) --> ABER, gibt es auch unendlich viele abc-Triple mit $\displaystyle q > 1$ ???
(wg. Zusammenhang zw. $\displaystyle q$ und $\epsilon$ ist das gleichbedeutend mit der Frage $\epsilon > 0$)

Wenn man obiges Bild betrachtet muss man zum Schluss kommen - egal wo man eine Grenze für $\displaystyle q > 1$ zieht, die Menge der abc-triple SCHEINT ENDLICH  ???!!!

Viele Grüße!
PriMath

Die Marker (1) und (2) habe ich oben in dein Quote eingefuegt.

Aber sie sagen 2 genau entgegengesetzte Dinge aus:
Also in (1) triffst du  eine Aussage ueber unendlich viele abc-Triple mit $\displaystyle q \ge 1$ und wie man sie konstruiert.

In (2)


gibt es auch unendlich viele abc-Triple mit $\displaystyle q > 1$ ???

stellst du sie wieder zur Diskussion, wenn ich s recht verstehe ...

Nich hauen  😮 oder fehlt in de Aussage 2 nicht ein $\displaystyle \epsilon$ ?
Oder ist $\displaystyle \ge $ bzw $\displaystyle \gt $  eine Rolle?


Und in
$\frac{log(c)}{log(rad(abc)^{(1)})} < \frac{log(c)}{log(rad(abc)^{(1+\epsilon)})}$

Welchen der beiden Brüche betrachtest du als q?

Danke auf jeden Fall!
J



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