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  Wurzelfunktion abschätzen/Ungleichung |
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Dreadwar
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
 |  Themenstart: 2019-11-04
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Hallo Leute,
folgende Aufgabe wurde mir gestellt:
a)
Zeigen sie ohne Differentialrechnung, also nur durch Rechnen mit Ungleichungen und Wurzeln, dass gilt:
1+x/2-x^2/2 <= sqrt(x+1) <= 1+x/2 , x>=-1
Wie geht man grundsätzlich bei sowas vor?
Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Anstoß gebe.
Liebe Grüße
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PrinzessinEinhorn
Senior 
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2625
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-04
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Hallo,
zu erst einmal fällt auf, dass für größere x-Werte der Term
$1+\frac{x}2-\frac{x^2}{2}$ auf der linken Seite der Ungleichungskette negativ wird.
Außerdem sollte jawohl $x>-1$ gelten, damit die Wurzel definiert ist.
So erhältst du dann schon mal eine Einschränkung für $x$.
Ansonsten kannst du die Ungleichungen dann unter den gegebenen Voraussetzungen direkt beweisen. Also durch äquivalente Umformungen.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-04
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Hallo,
die rechte Seite entspricht der auf reelle Exponenten verallgemeinerten Form der Bernoullischen Ungleichung.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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Hallo und danke für die Antworten!
@PrinzessinEinhorn
x soll >= -1 sein. Das hatte ich vergessen und werde es noch verbessern. Das die linke Seite für große x negativ wird, verstehe ich, nur wie hilft mir das weiter? Das würde ja bedeuten, dass die Ungleichung für "unten" immer stimmt, da die Wurzel >=0 ist.
Ich habe eher das Problem nicht zu wissen was da am Ende mal rauskommen soll und wie ich meine Erkenntnisse mathematisch korrekt wiedergebe:(
@Diophant
An die Bernoulli Ungleichung habe ich da auch gedacht, selbes Problem, ich weiß nicht inwiefern mir das weiter hilft bzw. wie ich das beweisen soll.
Liebe Grüße
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-04
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Hallo,
wenn \(a,b\geq0\), dann ist \(a\leq b\) genau dann, wenn \(a^2\leq b^2\). Quadrieren der beiden Ungleichungen beseitigt schon mal die Wurzel, und die rechte Ungleichung steht sofort da.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-04
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Hallo,
da die Wurzel größer gleich Null und die rechte Seite strikt positiv ist, kann man diesen Teil auch einfach durch Quadrieren zeigen.
Wie ich sehe, hat StrgAltEntf das ja gerade auch gepostet. :-)
Sorry, ich haue manchmal so Ideen raus, die mir gerade durch den Kopf gehen, habe aber nicht so viel Kenntnisse vom Aufbau des Stoffs an der Hochschule, also was ggf. zur Verfügung steht und was nicht. Daher die Bernoulli-Ungl.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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Hallo SrgAltEntf, danke für den Tipp!
okay, also betrachte ich zunächst mal die rechte Ungleichung:
sqrt(x+1)<=1+x/2 <=> x+1 <=1+x+x^2 <=> 1<= 1+x^2 <=> 0<=x^2, das ist in jedem Fall eine wahre Aussage.
=> sqrt(x+1)<=1+x/2 \forall\ x>=-1
und damit wäre das dann bewiesen?
@Diophant du brauchst dich beim besten Willen nicht entschuldigen, was würde ich nur ohne dich machen :D
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-04
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Das ist richtig!
Nun die andere Ungleichung. Überlege dir zunächst, wann die linke Seite negativ wird. (Siehe Tipp von PrinzessinEinhorn.) Für diese x gilt dann die Ungleichung sowieso. Für die übrigen x: Wieder quadrieren.
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-04
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Huhu,
ohne quadrieren geht es einfach mit AM-GM-HM. Für die rechte Ungleichung gilt z.B. einfach \(\sqrt{1\cdot(x+1)}\leq\frac{1+x+1}{2}=1+\frac{x}{2}\) nach AM-GM.
Gruß,
Küstenkind
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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Alles klar, wann die linke Seite negativ wird kann ich ja rein theoretisch bestimmen, in dem ich die Nullstellen berechne, es handelt sich hier ja um eine nach unten geöffnete Parabel. Das wäre dann -1 und 2, das bedeutet, dass bedeutet, dass der Ausdruck für alle -1 < x < 2 negativ wird. Zusätzlich önnte ich den Scheitelpunkt berechnen und zeigen, dass für diesen die Ungleichung erfüllt ist, dann stimmt sie auch für alle anderen Werte, kann man das so machen?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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@Kuestenkind
AM-GM-HM sagt mir nichts, könntest du das erläutern? :)
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-04
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\quoteon(2019-11-04 21:21 - Dreadwar in Beitrag No. 9)
eine nach unten geöffnete Parabel. Das wäre dann -1 und 2, das bedeutet, dass bedeutet, dass der Ausdruck für alle -1 < x < 2 negativ wird.
\quoteoff
Nein, für -1 < x < 2 wird der Ausdruck positiv
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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\quoteon
Nein, für -1 < x < 2 wird der Ausdruck positiv
\quoteoff
Stimmt! Das mit dem Scheitelpunkt war aber richtig formuliert oder? Ich meine damit, dass die Funktion ja durch diesen nach oben beschränkt ist. Wenn dann der Ausdruck für diesen Wert kleiner als die Wurzel ist, folgt daraus dass alle anderen Werte kleiner als die Wurzel sind und die Ungleichung stimmt oder?
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-04
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\quoteon(2019-11-04 21:32 - Dreadwar in Beitrag No. 12)
Das mit dem Scheitelpunkt war aber richtig formuliert oder? Ich meine damit, dass die Funktion ja durch diesen nach oben beschränkt ist. Wenn dann der Ausdruck für diesen Wert kleiner als die Wurzel ist, folgt daraus dass alle anderen Werte kleiner als die Wurzel sind und die Ungleichung stimmt oder?
\quoteoff
Das wird dir aber nicht gelingen, da die rechte Seite für x = -1 Null wird. Und das ist kleiner als die linke Seite am Scheitelpunkt.
Du musst schon "jedes x einzeln" betrachten.
Hier musst du also durch: Beide Seiten quadrieren und dann geschickt umformen.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-04
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\quoteon(2019-11-04 21:22 - Dreadwar in Beitrag No. 10)
@Kuestenkind
AM-GM-HM sagt mir nichts, könntest du das erläutern? :)
\quoteoff
Das ist wohl die bekannteste Ungleichung die es gibt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel
Die Abschätzung durch das harmonische Mittel liefert z.B.
\(\displaystyle \frac{2(x+1)}{x+2}=\frac{2}{\frac{1}{1}+\frac{1}{x+1}} \leq \sqrt{x+1}\)
Es bleibt also zu zeigen \(\displaystyle \frac{2+x-x^2}{2} \leq \frac{2(x+1)}{x+2}\) oder \(\displaystyle \frac{2(x+1)}{x+2}-\frac{2+x-x^2}{2}\geq 0\). Die linke Seite ist aber nun \(\frac{x^2(x+1)}{2(x+2)}\) (wie man leicht nachrechnet) - und die Ungleichung offensichtlich somit für \(x\geq -1\) erfüllt.
Gute Nacht,
Küstenkind
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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Sehr schade, wär zu schön gewesen :D
Wie mach ich das mit dem Umformen? Ich bekomme da sowas wie
x^4/4-x^2/2-3x/4+x+1 <= x+1
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
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@Kuestenkind
ich danke dir, ich werde es mir anschauen. Das haben wir bis jetzt nicht behandelt, danke für den Tipp!
Gute Nacht
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3107
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.17, eingetragen 2019-11-04
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Bei sqrt(x+1)<=1+x/2 würde ich so vorgehen<:
sqrt(x+1)-1/2*(1+x+1)<=0
u=sqrt(x+1)
u-1/2*(1+u^2)<=0
-1/2*u^2+u-1/2<=0
....
Gruß Caban
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Dreadwar
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 174
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-04
|
Alles klar, ich versuch das mal. Danke euch!
Liebe Grüße
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Profil
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.19, eingetragen 2019-11-04
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\quoteon(2019-11-04 22:01 - Dreadwar in Beitrag No. 15)
Ich bekomme da sowas wie
x^4/4-x^2/2-3x/4+x+1 <= x+1
\quoteoff
Kann es sein, dass du dich verrecnnet hast? Ich komme auf etwas anderes.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
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