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Mathematik » Numerik & Optimierung » Steilster Abstieg
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Universität/Hochschule J Steilster Abstieg
Shaqrament
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-04


Hallo zusammen,
ich stehe bei einem Problem auf dem Schlauch und vermute, den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen zu können. Es geht um das Optimierungsproblem
<math>\min \left \lbrace \nabla f(x)^Ts : \lVert s \rVert_{A} = 1 \right \rbrace</math>, also das Finden einer steilsten Abstiegsrichtung. Hierbei ist <math>\lVert v \rVert_A := \sqrt{v^TAv}</math> und <math>A \in \text{Mat}(n, \mathbb{R})</math> symmetrisch und positiv definit. Ich kenne die Lösung des Problems bereits. Mir geht es um etwas anderes: Im Fall, dass <math>A</math> die Einheitsmatrix <math>I</math> ist (also <math>\lVert \cdot \rVert_A = \lVert \cdot \rVert_2)</math>, argumentiert man mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung, d.h. <math>\nabla f(x)^Ts \geq -\lVert \nabla f(x) \rVert_I \lVert s \rVert_I</math>. Diese untere Schranke wird in <math>d=-\frac{\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x) \rVert_I}</math> erreicht, d.h. <math>d</math> löst das Optimierungsproblem. Meine Frage ist nun: Wieso ist diese Argumentation im Fall <math>A \neq I</math> im Allgemeinen nicht mehr zulässig, d.h. warum ist <math>d = -\frac{\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x) \rVert_A}</math> nicht in allen Fällen die Lösung dieses Optimierungsproblems? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.



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Goswin
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Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-05


2019-11-04 21:44 - Shaqrament im Themenstart schreibt:
Es geht um das Optimierungsproblem <math>\min \left \lbrace \nabla f(x)^Ts : \lVert s \rVert_{A} = 1 \right \rbrace</math>, also das Finden einer steilsten Abstiegsrichtung. Im Fall, dass <math>A</math> die Einheitsmatrix <math>I</math> ist, löst <math>d=-\frac{\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x) \rVert_I}</math> das Optimierungsproblem. Meine Frage ist nun: Wieso ist diese Argumentation im Fall <math>A \neq I</math> im Allgemeinen nicht mehr zulässig?

Die naheliegende Frage ist doch erst einmal: warum sollte sie im Allgemeinfall zulässig sein? Wenn ich mit Hilfe der Lagrange-Funktion das Minimum für den allgemeinen Fall suche, dann finde ich die Lösung
\[d=-\frac{A^{-1}\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x) \rVert_{A^{-1}}}
=-\frac{A^{-1}\nabla f(x)}{\lVert A^{-1} \nabla f(x) \rVert_A}~,\] welche für \(A=I\) zu deinem Ergebnis führt, aber für fast jedes andere Paar \(~A,\,\nabla f(x)~\) ein Gegenbeispiel liefert.


-----------------
/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Shaqrament
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07


Danke Goswin für die Antwort! Dann muss ich den Beweis im Fall <math>A = I</math> noch einmal neu nachvollziehen.

Beste Grüße

Edit: Jetzt hat es Klick gemacht. Ich hatte den Beweis im Fall <math>A = I</math> tatsächlich nicht (jetzt schon) verstanden. Danke noch einmal!



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