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Steilster Abstieg |
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Shaqrament
Aktiv  Dabei seit: 19.06.2019 Mitteilungen: 47
Aus: Bayern
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Hallo zusammen,
ich stehe bei einem Problem auf dem Schlauch und vermute, den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen zu können. Es geht um das Optimierungsproblem
, also das Finden einer steilsten Abstiegsrichtung. Hierbei ist und symmetrisch und positiv definit. Ich kenne die Lösung des Problems bereits. Mir geht es um etwas anderes: Im Fall, dass die Einheitsmatrix ist (also , argumentiert man mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung, d.h. . Diese untere Schranke wird in erreicht, d.h. löst das Optimierungsproblem. Meine Frage ist nun: Wieso ist diese Argumentation im Fall im Allgemeinen nicht mehr zulässig, d.h. warum ist nicht in allen Fällen die Lösung dieses Optimierungsproblems? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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Goswin
Senior  Dabei seit: 18.09.2008 Mitteilungen: 1350
Aus: Chile, Ulm
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-05
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2019-11-04 21:44 - Shaqrament im Themenstart schreibt:
Es geht um das Optimierungsproblem  , also das Finden einer steilsten Abstiegsrichtung. Im Fall, dass  die Einheitsmatrix  ist, löst  das Optimierungsproblem. Meine Frage ist nun: Wieso ist diese Argumentation im Fall  im Allgemeinen nicht mehr zulässig?
Die naheliegende Frage ist doch erst einmal: warum sollte sie im Allgemeinfall zulässig sein? Wenn ich mit Hilfe der Lagrange-Funktion das Minimum für den allgemeinen Fall suche, dann finde ich die Lösung
\[d=-\frac{A^{-1}\nabla f(x)}{\lVert \nabla f(x) \rVert_{A^{-1}}}
=-\frac{A^{-1}\nabla f(x)}{\lVert A^{-1} \nabla f(x) \rVert_A}~,\]
welche für \(A=I\) zu deinem Ergebnis führt, aber für fast jedes andere Paar \(~A,\,\nabla f(x)~\) ein Gegenbeispiel liefert.
----------------- /Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.
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Shaqrament
Aktiv  Dabei seit: 19.06.2019 Mitteilungen: 47
Aus: Bayern
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07
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Danke Goswin für die Antwort! Dann muss ich den Beweis im Fall noch einmal neu nachvollziehen.
Beste Grüße
Edit: Jetzt hat es Klick gemacht. Ich hatte den Beweis im Fall tatsächlich nicht (jetzt schon) verstanden. Danke noch einmal!
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