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Lineare Algebra » Lineare Unabhängigkeit » Lineare Unabhängigkeit von Funktionen X -> K
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Universität/Hochschule Lineare Unabhängigkeit von Funktionen X -> K
Mona109
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-05


Hallo! Ich kämpfe mit folgender Aufgabe:

Seien f_1, ... , f_n\el\ V  und x_1, ... ,x_n \el\ X. Für i\el\ {1, ... ,n} setze v_i = (f_1(x_i), ..., f_n(x_i))\el\ K^n. Zeigen Sie: Ist (v_1, ... , v_n) in K^n linear unabhängig, so ist auch (f_1, ..., f_n) linear unabhängig.


Kann mir bitte, bitte jemand sagen, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Ich wäre unendlich dankbar



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-05


Könntest du die Aufgabenstellung richtig formatieren? Und was sind $V$ und $X$? Ich vermute, dass eigentlich $V^*$ und $V$ gemeint sind, und $V$ ein $K$-Vektorraum ist?

Zeige uns außerdem einmal, was du bereits probiert hast.

Es ist hier tatsächlich nicht viel mehr zu tun, als sich a) die Definitionen noch einmal anzuschauen (insbesondere von linearer Unabhängigkeit), b) die Voraussetzungen auszuschreiben, c) die Behauptung auszuschreiben. Dann ist man fast schon fertig. Was ich damit meine, wird in diesem Artikel noch näher erklärt: article.php?sid=1805



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1157
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-05

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Vielleicht meint sie/er mit $X$ eine beliebige Menge und mit $V$ den $K$-Vektorraum aller Funktionen $X\to K$. Kann es sein, dass $v_i$ hier anders definiert werden sollte?



-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-05


Entschuldigt! So ist es richtig:

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@xiao_shi_tou_: Ich habe noch mal nachgeguckt, aber v_i ist tatsächlich so definiert

@Triceratops: Cooler Artikel, den werde ich demnächst auf jeden Fall etwas genauer studieren!!!


Also ich habe es probiert, indem ich angenommen habe, dass (v1, ..., vn) linear unabhängig und (f1, ..., fn) linear abhängig ist. Kam damit nicht so wirklich zurecht, vielleicht ist das auch ein schlechter Ansatz

Ich werde es noch einmal probieren




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-05


Du musst keinen Widerspruchsbeweis machen. Ein direkter, einfacher Beweis bietet sich hier viel eher an.

Du musst zeigen (gemäß der Definition von "linear unabhängig"):

Für alle $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n \in K$ mit $\lambda_1 f_1 + \cdots + \lambda_n f_n = 0$ gilt $\lambda_1 = \dotsc = \lambda_n = 0$.

Nehmen wir also an (uns bleibt ja auch nichts anderes übrig!), dass diese Gleichung

$\lambda_1 f_1 + \cdots + \lambda_n f_n = 0$

gilt. Diese spielt sich im Vektorraum $V = \mathrm{Abb}(X,K)$ der Abbildungen $X \to K$ ab. Die Nullfunktion ist hierbei die Funktion, die jedes Element von $X$ auf $0$ schickt. Skalarmultiplikation und Addition sind auch "punktweise" definiert (also $(f+g)(x) := f(x) + g(x)$ usw.). Per Definition bedeutet die obige Gleichung daher, dass

$\lambda_1 f_1(x) + \cdots + \lambda_n f_n(x) = 0$
 
für alle $x \in X$ gilt.

Beachte, dass bis zu diesem Punkt noch gar nichts passiert ist - wir haben lediglich hingeschrieben, was eigentlich gegeben ist.

Nun schauen wir uns unsere Voraussetzungen an und stellen fest: wir wissen eigentlich gar nichts über die Elemente $X$, außer dass $x_1,\dotsc,x_n$ Elemente von $X$ sind. Uns bleibt also nichts anderes übrig, als diese Elemente für $x$ oben einzusetzen.
 
So, und jetzt bist du dran. Nimm einmal die Einsetzung vor, und wende dann die einzige noch nicht verwendete Voraussetzung, nämlich dass die $v_1,\dotsc,v_n$ linear unabhängig sind, an.

Zu (b) kommen wir, wenn du (a) fertig hast. :) Bei (b) kann man nämlich (a) benutzen.



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-06


Wenn du dir unsicher bist (und den Beweis mit einem Fragezeichen beendest), heißt das, dass du einen Beweisschritt ausgelassen (oder noch nicht gefunden) hast. Und mit $f_1=\dotsc=f_n=0$ meinst du eigentlich $\lambda_1=\dotsc=\lambda_n=0$?



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Ja, das meinte ich, sorry, danke fürs Richtigstellen! Also ehrlich gesagt sehe ich noch nicht so ganz den Zusammenhang zwischen

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-06


Ja, das verstehst du richtig, und das ist auch das fehlende Element im Beweis aus dem vorigen Post.

Verstehst du jetzt jeden einzelnen Schritt? Gehe ruhig noch einmal alles durch. Falls du Rückfragen hast, melde dich gerne!



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07


Danke, das ist sehr lieb von dir. Aber leider sehe ich immer noch nicht so ganz den Zusammenhang. Denn wir haben einmal

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Wie hast du die beiden in Verbindung gesetzt?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-07


Du hast Recht, da ist noch etwas zu tun.

Stelle dir einmal das Tupel $(v_1,\dotsc,v_n)$ als $n \times n$-Matrix vor. Die Spalten sind nach Annahme linear unabhängig. Das bedeutet, dass die Matrix invertierbar ist. Dann sind aber auch die Zeilen linear unabhängig. (Alternativ: Allgemein gilt für Matrizen Zeilenrang = Spaltenrang.)



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07


Danke! Und deswegen gilt

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, richtig?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-07


Das ist nicht richtig (setze doch einmal einfache Beispiele an) und geht an dem vorbei, was ich geschrieben habe.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-07


Noch einmal anders: Definiere $w_i := (f_i(x_1),\dotsc,f_i(x_n))$. Zeige, dass $(w_1,\dotsc,w_n)$ linear unabhängig ist. (Hier geht die lineare Unabhängigkeit von $(v_1,\dotsc,v_n)$ ein.) Arbeite dann im Beweis mit diesen Vektoren anstelle von $v_i$. Ich vermute, dass xiao_shi_tou_ mit seiner Frage in Beitrag No. 2 auch genau darauf hinaus wollte.



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