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Strukturen und Algebra » Ringe » Ideale von formalen Potenzreihen
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Universität/Hochschule Ideale von formalen Potenzreihen
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-06


Guten Abend

Ich stecke fest: Ich möchte zeigen, dass eine formale Potenzreihe nur Ideal der Form \((x^k)\) für ein \(k\in\mathbb{N}\) hat. Dabei folgte ich den Hinweis, dass man beweisen soll, dass eine formale Potenzreihe invertierbar ist, nur wenn \(a_0\neq 0\) sei. Aber hilft mir das weiter?

Hat mir jemand ein Tipp?

Gruss,

Math_user



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-06


In der Auflistung fehlt das Nullideal bzw. der Fall $k=\infty$, wenn man $X^{\infty}:=0$ setzt.

Zunächst zum Hinweis: Sei allgemeiner $R$ ein kommutativer Ring (der Fall eines Körpers ist nicht einfacher, sondern hier unnötig restriktiv). Um zu zeigen, dass $a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots \in R[[X]]$ bereits dann invertierbar ist, wenn $a_0 \in R$ invertierbar ist, mache einfach den Ansatz $1 = (a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots)(b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots)$ und führe einen Koeffizientenvergleich durch. Man erhält eine Rekursionsgleichung für die $b_n$, die eindeutig lösbar ist.

Definiere jetzt die Bewertung von $0 \neq f \in K[[X]]$ als das kleinste $k$ mit $f \in \langle X^k \rangle$. Äquivalent: Es ist $f = a_k X^k + \text{ höhere Terme}$ mit $a_k \neq 0$. Das ist also "der Exponent, mit dem $f$ anfängt". Beispiel: $3 X^3 - 6 X^4 + X^8 \in \IQ[[X]]$ hat Bewertung $3$.
 
Der Hinweis impliziert (überlege dir, warum), dass jedes $0 \neq f \in K[[X]]$ mit Bewertung $k$ zu $X^k$ assoziiert ist und folglich $\langle f \rangle = \langle X^k \rangle$ gilt.

Jedes Ideal ist aber eine Summe von Hauptidealen: $I = \sum_{f \in I} \langle f \rangle$. Damit kommt man nun recht schnell ans Ziel.

Wenn du möchtest (ist für die Aufgabe nicht unbedingt nötig), kannst du auch einmal den Begriff eines diskreten Bewertungsringes recherchieren, um zu erkennen, was hier allgemein hintersteckt.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Vielen Dank für deine schnelle Antwort!

Ich meinte natürlich, dass alle nicht trivialen Ideal diese Form haben. Wir arbeiten hier über einen Körper \(\mathbb{K}\). Ja den Hinweis konnte ich ohne grosse Mühe beweisen. Ich habe noch nie etwas von "diskreten Bewertungsringes" gehört.

"Der Hinweis impliziert (überlege dir, warum), dass jedes $0 \neq f \in K[[X]]$ mit Bewertung $k$ zu $X^k$ assoziiert ist und folglich $\langle f \rangle = \langle X^k \rangle$ gilt." Wie meinst du assoziiert? Tut mir leid aber ab hier hast du mich verloren.




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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 18:36 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Jedes Ideal ist aber eine Summe von Hauptidealen: $I = \sum_{f \in I} \langle f \rangle$. Damit kommt man nun recht schnell ans Ziel.

Ich habe auch gerade gesehen, dass wir dieses Resultat gar nicht gesehen haben. Gibt es einen anderen Weg zum Ziel?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-06


de.wikipedia.org/wiki/Assoziierte_Elemente

Und die Aussage $I = \sum_{f \in I} \langle f \rangle$ ist trivial.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-06


Vielen Dank für deine Hilfe, bin zwar aktuell recht verloren mit allem aber ich werde mal versuchen anhand deiner Tipps etwas zu konstruieren.
(Das Wort "trivial" werde ich definitiv nach meinem Studium aus meinem Wortschatz verbannen! Bin absolut kein Fan von diesem Wort ^^)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-06


Okay, dann ersetze "ist trivial" durch "ergibt sich direkt durch Einsetzen der Definitionen".  smile

Du kannst es ohne die triv... *räusper* die sich direkt aus den Definitionen ergebende Gleichung machen:

Jedes $0 \neq f \in I$ hat eine Bewertung. Jetzt nimm das Minimum $m$ all dieser Bewertungen. Zeige $I = \langle X^m \rangle$.

Du fragst dich jetzt vielleicht:

Wie kommt man auf das Minimum?

Hier kommt eine nützliche Methode zum Einsatz, die man oftmals verwenden kann: Wir nehmen kurz einmal an, dass die Behauptung schon gilt. Es gilt also $I = \langle X^m \rangle$ für eine natürliche Zahl $m$. Schauen wir uns $I$ genauer an: Es besteht $I$ aus den Potenzreihen der Form $X^m \cdot f$ mit Potenzreihen $f$. Schreiben wir $f$ aus und multiplizieren wir das Produkt aus, so erhalten wir Potenzreihen der Form $a_m X^m + a_{m+1} X^{m+1} + \cdots$. Hierbei ist allerdings nicht $a_m \neq 0$ verlangt. Die Bewertung ist also nicht unbedingt $m$, sondern könnte auch höher sein. Genauer gesagt ist die Menge aller möglichen Bewertungen $\{m,m+1,m+2,\dotsc\}$. Davon können wir aber $m$ als das Minimum ablesen. Das heißt nun im Umkehrschluss: Wenn wir die Behauptung für ein Ideal $I$ zeigen möchten, so bleibt uns gar nichts anderes übrig, als $m$ als das Minimum aller Bewertungen der $0 \neq f \in I$ zu definieren. Der eigentliche Beweis besteht dann nur noch darin, $I = \langle X^m \rangle$ zu prüfen.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-06


2019-11-06 20:12 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Vielen Dank für deine Hilfe, bin zwar aktuell recht verloren mit allem aber ich werde mal versuchen anhand deiner Tipps etwas zu konstruieren.
(Das Wort "trivial" werde ich definitiv nach meinem Studium aus meinem Wortschatz verbannen! Bin absolut kein Fan von diesem Wort ^^)

2019-11-06 23:27 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
Okay, dann ersetze "ist trivial" durch "ergibt sich direkt durch Einsetzen der Definitionen".  smile

Ich ersetze dieses Wort ja immer durch "Es gibt einen Blickwinkel von dem aus betrachtet die Aussage direkt offensichtlich ist". So hab ich immer die Ausrede für mich selbst, dass dieser Blickwinkel nicht immer leicht zu finden ist, falls ich mal wieder ein Brett vor dem Kopf habe :D.




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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07


2019-11-06 23:57 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 7 schreibt:
2019-11-06 20:12 - Math_user in Beitrag No. 5 schreibt:
Vielen Dank für deine Hilfe, bin zwar aktuell recht verloren mit allem aber ich werde mal versuchen anhand deiner Tipps etwas zu konstruieren.
(Das Wort "trivial" werde ich definitiv nach meinem Studium aus meinem Wortschatz verbannen! Bin absolut kein Fan von diesem Wort ^^)

2019-11-06 23:27 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
Okay, dann ersetze "ist trivial" durch "ergibt sich direkt durch Einsetzen der Definitionen".  smile

Ich ersetze dieses Wort ja immer durch "Es gibt einen Blickwinkel von dem aus betrachtet die Aussage direkt offensichtlich ist". So hab ich immer die Ausrede für mich selbst, dass dieser Blickwinkel nicht immer leicht zu finden ist, falls ich mal wieder ein Brett vor dem Kopf habe :D.



Trivial ist immer eine Frage der Betrachtung meines Erachtens. Ich muss zugeben, wenn ich mir ältere Beweise anschauen, dann sind tatsächlich ein paar Sachen "trivial" rückblickend betrachtet. Dabei wird aber von mir ausgesehen dieses Wort zu oft in den Vorlesung benutzt, denn wenn man sich gerade neu mit der Materie beschäftigt oder schon nur Schwierigkeiten hat mit den Definitionen, so ist ein kleiner "trivialer" Beweis meist schon genug um einem aus der Bahn zu werfen. Wenn aber noch trivial in den Notizen steht, dann hilft es nicht gerade der Moral, wenn man nicht weiterkommt  smile



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07


2019-11-06 23:27 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
$I = \langle X^m \rangle$ für eine natürliche Zahl $m$. Schauen wir uns $I$ genauer an: Es besteht $I$ aus den Potenzreihen der Form $X^m \cdot f$ mit Potenzreihen $f$.

Vielen Dank für das Umformulieren und deiner Erklärung.  smile  Ich habe aber eine vielleicht dumme Frage, betreffend deiner Notation. Was meinst du mit $I = \langle X^m \rangle$, ist dabei \((X^m)\) gemeint, also das erzeugendes Element der Potenzreihe? (Hat eine Potenzreihe überhaupt ein erzeugendes Element?  confused )



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-07


Mit $\langle f \rangle$ meine ich das von $f$ erzeugte Hauptideal. Es gibt viele, die dafür $(f)$ schreiben. Ich verwende diese Schreibweise aus verschiedenen Gründen nicht mehr (kann ich bei Interesse ausführen). "Erzeugendes Element einer Potenzreihe" ergibt keinen Sinn.

de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal



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