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Analysis » Folgen und Reihen » lim sup & lim inf => beschränkt?
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Universität/Hochschule lim sup & lim inf => beschränkt?
nbrdt
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-10


Hallo Leute ich hätte da mal eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} \)eine reellwertige Folge und \( b, c \in \mathbb{R} \), sodass \( \limsup\limits_{x\rightarrow0} a_n < b \) und \( \liminf\limits_{x\rightarrow0} a_n > c \). Zeige, dass ein \( n_0 \in \mathbb{N} \) existiert sodass für alle \( n \geq n_0 \) gilt: \( a_n < b\).


Und hier ist meine Frage dazu: Ist diese Aussage richtig? Wäre nicht sowas wie
\( a_n :=
\begin{cases}
      0 & x = 3k \; für \; k \in \mathbb{N} \\
      1 & x = 3k-1 \; für \; k \in \mathbb{N} \\
      n & x = 3k-2 \; für \; k \in \mathbb{N}
   \end{cases}
\)

als nach oben unbeschränkte Folge mit 2 Häufungswerten ein Gegenbeispiel?

LG und danke für die Hilfe



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Triceratops
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Mitteilungen: 4157
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11


Hallo, willkommen im Forum.

Zunächst einmal kommt $c$ in deiner Behauptung gar nicht vor, insofern ist unklar, was die Annahme da bedeutet.

Außerdem ist unklar, was du mit $x \to 0$ im Index des limsup und liminf meinst. Ich vermute, dass du $n \to \infty$ meinst.

Und es ist unklar, was du mit $x=3k$ usw. in der Definition deiner Beispielfolge meinst. Vermutlich meintest du $n=3k$ usw.?

Die zu zeigende Aussage ergibt sich jedenfalls relativ direkt aus der Definition des limsup: Es gilt $\limsup_{n \to \infty} a_n = \inf_{k} \sup_{n \geq k} a_n$. (Oder hattet ihr eine andere Definition?) Nun gilt allgemein $\inf(X) < b$ genau dann, wenn es ein $x \in X$ gibt mit $x < b$ (das ergibt sich aus der Definition des Infimums). Also bedeutet $\limsup_{n \to \infty} a_n < b$ gerade, dass es ein $k$ gibt mit $\sup_{n \geq k} a_n < b$. Weil das Supremum ja sicherlich größergleich $a_n$ für alle $n \geq k$ ist, folgt also $a_n < b$ für alle $n \geq k$.

Zu deinem Beispiel: Hier ist $\limsup_{n \to \infty} a_n = \infty$. Es gibt also kein passendes $b$.



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