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Universität/Hochschule Chinesischer Restsatz
kontur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-10


\[\psi:\begin{cases}\mathbb{Z}_{r_1\cdot r_2\cdot\ldots\cdot r_n}\to\mathbb{Z}_{r_1}\times\ldots\times\mathbb{Z}_{r_n}\\k+r_1\cdot\ldots r_n\cdot\mathbb{Z}\mapsto(k+r_1\mathbb{Z},\ldots,k+r_n\mathbb{Z})\end{cases}\]
Hallo Leute,
obige Funktion wird in dem Buch 'Algebra' von Karpfinger definiert und über sie wird behauptet, dass sie ein Ringisomorphismus ist ABER! nur in dem Fall, wenn \[r_1,\ldots r_n\] paarweise teilerfremd sind. Ich bilde mir ein, den Beweis in dem Buch nachvollziehen zu können (zunächst wird gezeigt, dass die Abbildung wohldefiniert und injektiv ist. anschließend, dass sie surjektiv ist und abschließend nur darauf hingewiesen, dass durch die Definition der Verknüpfungen auf den jeweiligen Gruppen diese auch additiv und multiplikativ sind). Leider verstehe ich nicht, für welche Eigenschaft (injektiv, surjektiv, additiv, multiplikativ, wohldefiniertheit) die Teilerfremdheit benutzt wird. Kann mir jemand sagen, an welcher Stelle etwas kaputt gehen würde, ohne dass ich den Beweis aus dem Buch hier ganz aufschreibe.

Vielen Dank im Vorraus,
Jan



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-10


Hallo,

diese Bedingung ist notwendig, damit ein Isomorphismus vorliegt.

Nimm etwa $r_1=2$ und $r_2=4$.

Dann haben wir:

$f:\mathbb{Z}_8\to \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_4$

$[k]_8\mapsto ([k]_2, [k]_4)$

Dann gilt etwa

$f([1]_8)=([1]_2,[1]_4)$, aber auch $f([5]_8)=([5]_2, [5]_4)=([1]_2,[1]_4)$




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-11


Für die Wohldefiniertheit und Ringhom-Eigenschaft braucht man es nicht.
 
Injektivität und Surjektivität sind hier aber zueinander äquivalent, weil beides Ringe derselben endlichen Kardinalität sind.

Insofern geht die Teilerfremdheit also bei der Injektivität ein. Tatsächlich ist der Kern des Ringhom.

$\IZ/(r_1 \cdots r_n) \to \IZ/(r_1) \times \dotsc \times \IZ/(r_n)$

gleich $(\mathrm{kgV}(r_1,\dotsc,r_n)) / (r_1 \cdots r_n)$, also genau dann $0$, wenn die $r_i$ paarweise teilerfremd sind (sonst ist das kgV ja kleiner als das Produkt).



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kontur
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11


Danke, das macht es sehr viel klarer! Mit diesem Beispiel im Kopf werde ich den Beweis der Injektivität nocheinmal unter die Lupe nehmen.



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