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Universität/Hochschule Partitionsfunktion Eigenschaften beweisen
Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-14


Hallo,

ich brauche dringend Hilfe bei dieser Aufgabe. Mag mir bitte jemand bei den Beweisen helfen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14


Hallo Tino,
was hast du bisher selbst herausgefunden? Die Aufgaben a) und b) sehen doch ganz machbar aus. Guck dir für die b) kleine Beispiele an.
Wir wollen 6 mit 3 positiven ganzzahligen Summanden darstellen, dazu haben wir als Möglichkeiten
\[1+2+3=1+1+4=2+2+2\] Diese kannst du in alle Möglichkeiten einteilen, bei denen mindestens eins Summand 1 ist und bei denen alle Summanden größer als 1 sind.

Um 3 mit 3 positiven ganzzahligen Summanden darzustellen gibt es als Möglichkeit nur $1+1+1$ und um 5 mit 2 Summanden darzustellen, haben wir als Möglichkeiten $1+4=2+3$. Was hat das mit der Darstellung der 6 als 3 Summanden zutun?



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Tino11
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Mitteilungen: 37
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


Hallo,

können wir bitte mit a) beginnen? Da habe ich leider noch gar keinen Ansatz.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-14


Hallo,

laut Wikipedia ist $P(n,k)$ gegeben durch die Anzahl der Möglichkeiten die positive ganze Zahl $n$ als Summe von $k$ positiven ganzen Zahlen darzustellen.

Dann soll $P(n)$ wohl möglich die Anzahl aller möglichen Zerlegungen sein, oder wie ist $P(n)$ definiert?

Das könnte helfen:
Es gibt eine kombinatorische Berechnungsmethode die sich 'Stars and Bars' nennt.

Wenn du eine positive ganze Zahl $n$ hast.
Dann kannst du $n$ schreiben als:

$n=\underbrace{1+\dotso +1}_{\text{n mal}}$

Willst du nun herausfinden wie viele Möglichen Zerlegungen es in $k$ Summanden gibt, so kannst du dich fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt $k-1$ Striche (Bars) zwischen die Summanden (Stars) zu setzen.

Wenn du also etwa wissen möchtest wie viele Möglichkeiten es gibt die Zahl 10 als Summe von drei positiven Summanden darzustellen, dann musst du dich Fragen auf wie viele verschiedene Weisen du 2 Striche in der Summe:

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

setzen kannst.

Also etwa so: 1+1|+1+1+1+1|+1+1+1+1=2+4+4




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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


Wie kann man a) als Beweis auffassen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-15


Hallo Tino,

du müsstest in irgendeinem deiner Beiträge mal selbst schreiben, was du dir eigentlich zu der Aufgabe gedacht hast.

Zu a)
Wie sind $P(n)$ und $P(n,k)$ definiert? Wenn du die Definitionen aufschreibst, steht es schon fast da.

Zu b)
Überlege dir kleine Beispiele. Wie kannst du aus einer Partition von $n-1$ aus $k-1$ Summanden eine Partition von $n$ aus $k$ Summanden konstruieren?

@PrinzessinEinhorn: In dieser Aufgabe werden $1+2=2+1$ nicht als unterschiedliche Partitionen der $3$ gedeutet. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 10:21


Zu a)
P(n,k) ist wie gesagt laut Wikipedia die Anzahl der Möglichkeiten, die positive, ganze Zahl n in genau k positive, ganze Summanden zu zerlegen.
P(n) ist dann anscheinend eine Funktion zur Aufsummierung der P(n,k), aber wie kann man das zeigen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-15 11:17


Hallo,

irgendwie werdet ihr in der Vorlesung $P(n)$ und $P(n,k)$ definiert haben. Genau die Definitionen sollst du verwenden. Falls ihr $P(n)$ nicht definiert habt, so ist es die Anzahl der Möglichkeiten $n$ als Summe von positiven ganzen Zahlen ohne Beachten der Reihenfolge darzustellen.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 12:21


Wir sind in der Vorlesung leider noch viel weiter hinten als in der Übung, daher haben wir noch nicht mehr annähernd so was definiert.
Aber wie beweise ich jetzt a)?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-15 12:29


Dann habt ihr $P(n)$ aber hoffentlich in der Übung definiert.

Was hast du dir bisher überlegt? Auf geht's ...

$P(n)$ ist die Anzahl der Möglichkeiten $n$ als Summe von positiven ganzen Zahlen ohne Beachten der Reihenfolge darzustellen.

$P(n,k)$ ist die Anzahl der Möglichkeiten $n$ als Summe von genau $k$ positiven ganzen Zahlen ohne Beachten der Reihenfolge darzustellen.

Was ist $P(7)$? Was ist $P(7,1), P(7,2), \ldots$?
Leg los :) Du schaffst das.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 21:50


Danke für deine Motivation ochen!
Leider haben wir auch kein $P(n)$ in der Übung definiert...
$P(7) = P(7,1) + P(7,2) + ... + P(7,7) = \sum_{k=1}^{7} P(7,k)$
Wie fasst man den Beweis auf?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-15 22:27


Du hast mich missverstanden. Ich möchte von dir wissen, welche Zahlen $P(7), P(7,1)\ldots$ sind.
Beispielsweise sind $P(3)=3$, $P(3,1)=1$, $P(3,2)=1$ und $P(3,3)=1$.


Welcher Kurs ist das? Hast du bereits Analysis und Lineare Algebra besucht?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-15 23:18


Das ist ein Stochastik-Kurs.
Also: $P(7) = 15, P(7,1) = 1, P(7,2) = 3, P(7,3) = 4, P(7,4) = 3, P(7,5) = 2, P(7,6) = 1, P(7,7) =1$
Aber was bringt mir das jetzt?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-16 10:29


Cool, wie hast du diese Zahlen berechnet?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16 11:08


Durch Auflistung der einzelnen Möglichkeiten.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-11-16 12:14


Ok, die Anzahl aller dieser Möglichkeiten ist $P(7)$. Die Anzahl der Möglichkeiten, im denen es genau $k$ Summanden sind, ist $P(7,k)$. Damit löst du die a)

Zur b) Du hast $P(7,3)$ ermittelt. Wie viele dieser Summen haben mindestens eine Eins als Summanden? Wenn du aus allen diesen Summen eine Eins herausstreichst, was erhälst du dann?

Hast du die Kurse Analysis 1 bis 3 und Lineare Algebra 1 und 2 bereits abgeschlossen?



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16 12:30


Zu a):
Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich das als Beweis aufschreiben kann.

Zu b):
In P(7,3) gibt es 3 Summen, die mindestens eine 1 als Summanden haben. Wenn ich aus allen diesen Summen eine 1 herausstreiche, dann erhalte ich P(6,2) = 3.

Nein, ich habe Analysis und Lineare Algebra noch nicht abgeschlossen.



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Tino11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 17:43


Ist hier jemand, der mir bei der Aufgabe weiterhelfen kann?



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-17 17:57


Nein, es ist sinnlos ein Beweis hinzuschreiben, wenn du keine Definition hast, mit der du arbeiten kannst. Das wird dein Übungsleiter auch wissen. Manchmal (siehe z.B. in diesem Skript auf Seite 88) wird die Partitionsfunktion z.B. so definiert(!), wie deine Aufgabe a) es hinschreibt.
Du kannst natürlich auch den Beweis aus Comtet, Advanced Combinatorics übernehmen:




Gruß,

Küstenkind



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