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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Äquivalenz von Bijektivität von linearen Abbildungen
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Universität/Hochschule Äquivalenz von Bijektivität von linearen Abbildungen
Manuel01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-14


Ich soll folgendes beweisen (die andere Richtung hab ich schon):

Sei V ein Vektorraum mit dim(V)<\(\infty\). Sei W ein weiterer Vektorraum und \(T:V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
(Es existiert ein Unterraum \(U\subset V\), so dass \(V=ker(T)+U\), \( \{0\}=ker(T)\cap U\) und dim(U)=dim(V)) \(\Rightarrow\) (T ist bijektiv)

Ich hab leider nicht den Hauch einer Ahnung wie man da vorgehen soll. Kann mir jemand da helfen?



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xiao_shi_tou_
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-14


Hier stand Unsinn.


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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-14


Hallo,

du hast also eine lineare Abbildung

$T: V\to W$ mit der Eigenschaft, dass ein Unterraum $U\subseteq V$ existiert, sodass $V=\operatorname{ker}(T)+U$, $\{0\}=\operatorname{ker}(T)\cap U$ und $\operatorname{dim}(U)=\operatorname{dim}(V)$ gilt.

Zeigen möchtest du, dass $T$ bijektiv ist.

Du kannst zeigen, dass $T$ injektiv und surjektiv ist.

$T$ ist injektiv, wenn ...

Beachte auch, dass wir hier eine innere direkte Summe von $V$ vorliegen haben. Warum?

Wann ist $T$ surjektiv?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Manuel01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14


Hallo,
danke erstmal für die Antworten. Ich habe zwar das Gefühl, zu verstehen, wie die innere direkte Summe funktioniert, aber ich glaube nicht das dem so ist, denn das Beispiel wirkt eher wie ein Gegenbeispiel, denn (0,1) und (0,2) werden auf das selbe Element abgebildet und die Abbildung ist folglich nicht bijektiv, oder? Und gleichzeitig werden die drei Bedingungen aus der Vorraussetzung erfüllt.

Edit: Und die Abbildung ist - wenn ich mich nicht vertue - ein Homomorphismus.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-14


Auch hier stand Unsinn.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-15


Die Behauptung ist falsch.

Die Existenz von $U$ mit den Eigenschaften ist äquivalent zur Injektivität (das ergibt sich sofort aus der Dimensionsformel für direkte Summen), nichr zur Bijektivität von $T$.



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