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Funktionentheorie » Holomorphie » Laurent-Reihe für verschiedene gebrochenrationale Funktionen bestimmen
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Universität/Hochschule J Laurent-Reihe für verschiedene gebrochenrationale Funktionen bestimmen
Math_user
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  Themenstart: 2019-11-15

Moin zusammen Ich stecke bei folgender Aufgabe fest: Ich soll folgende Funktion als Laurent-Reihe wiedergeben \(f(z) =\frac{4z-z^2}{(z^2-4)(z+1)}\) im Gebiert \(\{z\in \mathbb{C}:2<\mid z \mid<100\}\). Ich habe mit der Partialbruchzerlegung zunächst folgendes für \(f(z)\) erhalten: \(f(z) =\frac{-1}{3(2-z)}+\frac{-3}{(2+z)}+\frac{5}{3(1+z)}\) und haben mir die jeweiligen Summanden genauer angeschaut: 1) \(\frac{-1}{3(2-z)}\)= \(\frac{1}{3z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}\) und da \(\mid z \mid >2\) ist folgt \(\mid \frac{1}{z} \mid > \frac{1}{2}\) und d.h. \(\mid \frac{2}{z} \mid > 1\), wir können als die geometrische Reihe benützen und erhalten: \(\frac{1}{3z}\frac{1}{1-\frac{2}{z}}\) = \(\frac{1}{3z}\sum_{n=0}^\infty 2^n*(\frac{1}{z})^n\) = \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3}*2^{n-1}*(\frac{1}{z})^n\) (stimmt dies) 2) \(\frac{-3}{(2+z)}\)=\(\frac{-3}{z}\frac{1}{(1+\frac{2}{z})}\) = \(\frac{-3}{z}\sum_{n=0}^\infty (-2)^n*(\frac{1}{z})^n\)=\(\sum_{n=1}^\infty -3*(-2)^{n-1}*(\frac{1}{z})^n\) (da ja \(\mid \frac{2}{z} \mid > 1\) gilt) 3) \(\frac{5}{3(1+z)}\)= \(\frac{5}{3}\frac{1}{(1+z)}\), nun haben wir \(\mid z \mid < 100\), was damit wir die geometrische Reihe nützen können zu \(\mid \frac{z}{100} \mid < 1\) umwandeln müssen aber ich sehe nicht wie ich mit meinem Term spielen kann :/ Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen Blick drüber werfen könnte und mir evtl. auch mit meinem Problem helfen könnte. Vielen Dank und einen schönen Abend Math_user


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Math_user
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-16

Niemand da der mir helfen könnte? :)


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trunx
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17

hallo, dein Ansatz sieht gut aus, aber deine Partialbruchzerlegung ist falsch. bye trunx


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-17

Huhu, das wollte ich auch gerade schreiben. Es ist \(\frac{-2^2+4\cdot 2}{(2+2)(2+1)}=\frac{1}{3}\). Und somit muss es \(\frac{1}{3(z-2)}\) lauten. Gruß (und einen Schönen Sonntag wünscht), Küstenkind


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Math_user
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17

Guten Sonntag Vielen Dank für den Hinweis, ich habe meinen Fehler korrigiert. Nun stecke ich aber immer noch fest mit dem 3 Summanden, könnte mir da jemand weiterhelfen?


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trunx
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-17

zu 1) fast richtig, aus 1/3 wird aber plötzlich 3 zu 2) da wäre (-2)n richtig und zu 3) das hast du im anderen thread korrekt berechnet. bye trunx


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Math_user
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17

Um sicher zu sein 3) kann ich also wegen \(\mid \frac{1}{z} \mid < \frac{1}{2}<1\) aufschreiben als \(\frac{5}{3}\frac{1}{(1+z)}\) = \(\frac{5}{3}\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty (\frac{-1}{z})^n\)? Danke vielmals für deine Hilfe trunx (und auch allen anderen)! Gruss und einen schönen Sonntag


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trunx
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-17

ja, und du kannst und solltest alle drei summen zusammen fassen.


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