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Mathematik » Stochastik und Statistik » echte Zufallszahlen erzeugen mit irrationalen Zahlen?
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Universität/Hochschule echte Zufallszahlen erzeugen mit irrationalen Zahlen?
carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-18 08:04


Hallo allerseits,
Pseudozufallszahlen werden durch einen Algorithmus mit Hilfe eines Computers erzeugt.
Leider wiederholen sich dann diese Pseudo-Zufallszahlen mit einer bestimmten Periode.
Deswegen die folgende Überlegung:

Man betrachte die Nachkommastellen einer irrationalen Zahl, wie e, pi, Wurzel aus 2 bzw. Kombinationen davon.
Sind diese Nachkommastellen echte Zufallszahlen ?

mfg
cx




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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-18 08:57


Der Begriff einer normalen Zahl ist dafür wohl relevant. Es ist unbekannt, ob $e$, $\pi$ oder $\sqrt{2}$ normal sind.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-18 09:03

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo zusammen,

das Thema hat mich vor (vielen) Jahren auch mal beschäftigt, lange bevor man Internetzugang hatte. In der Literatur fand ich damals Aussagen, dass in der Informatik wohl meist irgendwelche Algorithmen zum Einsatz kommen, die auf der Exponentialfunktion basieren, also bspw. \(e^{\text{aktueller Zeitstempel}}\), und davon eine geforderte Anzahl von Nachkommastellen abgschnitten.

Ganz so einfach scheint es jedoch nicht zu sein, hier gibt es bei Wikipedia eine kleine Auflistung von Verfahren.

Wenn man die Nachkommastellen einer normalen Zahl nimmt hat man im übrigen das eigentliche Problem immer noch: irgendjemand muss auswählen, wo man startet.

Oder man startet am Beginn der Nachkommastellen und nach jeder Erzeugung einer Zufallszahl merkt man sich, wo man aktell steht. Das scheitert aber relativ schnell an Fragen des Rechenaufwands und der Rechengenauigkeit.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
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Mitteilungen: 2140
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-18 11:20


Selbst bei einer normalen irrationalen Zahl erhält so in jedem Fall nur Pseudozufallszahlen. Die Nachkommastellen sind ja deterministisch. Kennt man den Einstiegspunkt, kennt man alle weiteren Ausgaben und kennt man genügend Ausgaben, kann man den Einstiegspunkt mit hoher Wahrscheinlichkeit erraten.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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carlox
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Mitteilungen: 986
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 14:53


2019-11-18 11:20 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Selbst bei einer normalen irrationalen Zahl erhält so in jedem Fall nur Pseudozufallszahlen. Die Nachkommastellen sind ja deterministisch. Kennt man den Einstiegspunkt, kennt man alle weiteren Ausgaben und kennt man genügend Ausgaben, kann man den Einstiegspunkt mit hoher Wahrscheinlichkeit erraten.
Wie kann man den erraten, wenn man verschiedene irrationale Zahlen kombiniert, wie z.B:
z = 3*e + 5*pi + wurzel_2*pi - 8*wurzel_3 + wurzel_13*e
Die Kombination kann auch nicht linear sein.

mfg
cx





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Diophant
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Mitteilungen: 2376
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-18 15:08


Hallo carlox,

auch das wäre ein Algorithmus oder zumindest ein Teil davon. Also deterministisch. Man kann mit dem Computer nur Pseudozufallszahlen erzeugen, die einzige Frage ist die nach der Qualität (also wie exakt die Zahlen gleichverteilt sind).


Gruß, Diophant



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-18 18:49


2019-11-18 15:08 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo carlox,

auch das wäre ein Algorithmus oder zumindest ein Teil davon. Also deterministisch. Man kann mit dem Computer nur Pseudozufallszahlen erzeugen, die einzige Frage ist die nach der Qualität (also wie exakt die Zahlen gleichverteilt sind).


Gruß, Diophant

Hallo Diophant,
1)
Das stimmt: diese so erzeugten Zufallszahlen sind deterministisch.
Im Gegensatz zu den im Rechner erzeugten Zufallszahlen haben sie aber keine Periode (stimmt das ?).

2)
Die Frage ist nun:
Wie kann man von diesen Zufallszahlen auf die zugehörige Formel schliessen bzw. welche Komplexität hat ein Algorithmus, der das leisten kann ?

3)
Gibt es Tests die prüfen, wie exakt diese Zahlen gleichverteilt sind?
Gibt es dazu einen Algorithmus (würde so etwas mal implementieren)?

4) Gedankenexperiment:
Angenommen, hinter den echten Zufallszahlen (durch radioaktiven Zerfall ereugt) steckt auch eine Formel (werden dadurch erzeugt), die die Menschheit noch nicht entdeckt hat (das würde vermutlich eine neue Physik erforderlich machen).
Dann wären diese Zufallszahlen auch nicht deterministisch.
Gibt es eine Möglichkeit, diese These zu überprüfen ?

mfg
cx



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2376
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-18 19:24

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo carlox,

ich glaube, dir unterläuft da ein Denkfehler. Deterministisch heißt, dass eine Folge von Zufallszahlen eine gewisse Zeit vor ihrer Erzeugung (das hängt im wesentlichen von der Methode ab) feststeht. Also feststeht, aber nicht bekannt oder vorhersagbar ist.

Also das was ich oben schrieb war laut einer Literatur, die ich damals hatte, wohl in einigen Programmiersprachen gängige Praxis: dass man den Zeitstempel der CPU-Clock (da ist die Genauigkeit soweit ich weiß \(10^{-4}s\)) ausliest, irgendwie aufbereitet und dann als Argument für eine Exponentialfunktion verwendet. Vom berechneten Wert werden dann bspw. die ersten 10 Nachkommastellen genommen, um eine 10-stellige Zufallszahl zu erzeugen.

Hier müsstest du ja aus den 10 Ziffern den erwähnten Time-Stamp wieder berechnen, dass scheitert schon daran, dass diese Methode als Abbildung gesehen sicherlich alles andere als injektiv ist.

Tests auf Gleichverteilung gibt es freilich, da kenne ich mich aber nicht so aus damit.

Bei deiner letzten Frage würde ja die oben geschilderte Problematik in noch viel höherem Ausmaß auftreten (wenn das Universum denn deterministisch wäre  wink ).

Aber wie gesagt: deterministisch heißt in so einem Fall nicht, dass man mathematisch gesprochen vom Bild irgendwie zum Urbild gelangen kann.

Sehe ich zumindest so.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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hyperG
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Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 837
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-18 20:06


Die meisten denken bei Zufallszahlen nur an Gleichverteilung der Ziffern und an gleiche Anzahl aller Ziffern und an die bereits genannte
Normalität einer Zahl.

ABER "echte Zufallsgeneratoren" haben auch nach einer Konvertierung in große räumliche Strukturen noch ein "schönes gleichverteiltes Aussehen". Unter
MathematischeKonstanten in 3D
habe ich verschiedene Konstanten verglichen.

Anhand einer "Gebirgsdarstellung mit etwa 25000 Stellen" kann man schnell Strukturen erkennen. So ist die Verteilung der Buchstaben bei Shakespeare... verschoben.
Brüche haben "Treppen" oder Sägezähne...

Dann gibt es jedoch irrationale Zahlen mit 10^(...), die in der Basis 10 nicht mal eine Gleichverteilung der Ziffern haben (einige bestehen nur aus Ziffer 0 und 1 -> also nicht "Normale Zahl".

ABER selbst die perfekt konstruierte "Normale Zahl" Champernowne-Zahl zeigt hässliche Abweichungen in der "3D-Weltraum-Struktur" (am Ende der genannten Seite).

Noch eine wichtige Eigenschaft normaler irrationaler Zahlen, die ich mal "Zeichenketten-Garantie-Position" nenne:
hier
Bis zu dieser Position sind alle n-Stelligen Muster garantiert zu finden. Das bedeutet, dass Strukturen immer größer werden.
Das kann man sich mit der "Weltraumstruktur" so vorstellen:
weit vorn, ist es wie mit dem Weltall kurz nach dem Urknall schön gleichverteilt. Je weiter die Zeit voranschreitet und je weiter "Hinten" man z.B. bei Pi schaut, um so "erkennbarer" werden Unregelmäßigkeiten.

Beispiel:
Position=28642224609576 NK=666666666666666669477894081904...
Wer also ab Position 28642224609576  schaut, bekommt 17 mal die Ziffer 6, was man für ein primitiven "Geburtstagsspiel-Generator" (10 Gäste und jeder hat eine Nummer gezogen und 17 mal kommt die 6) absolut nicht gebrauchen kann...

Noch was zur "Vermischung von Konstanten": viele sind bereits untrennbar miteinander verbunden!




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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-18 22:12


2019-11-18 14:53 - carlox in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie kann man den erraten, wenn man verschiedene irrationale Zahlen kombiniert, wie z.B:
z = 3*e + 5*pi + wurzel_2*pi - 8*wurzel_3 + wurzel_13*e
Die Kombination kann auch nicht linear sein.

Hallo cx,

ich gebe hier auch noch ein paar Dinge zu bedenken.

- Wer erzeugt denn dieses z? Wenn das automatisiert geschehen soll, wird sozusagen ein Präzufallsgenerator benötigt.

- Für einige Anwendungen werden sehr viele Zufallszahlen benötigt. Für einige kryptographische Verfahren benötigt man für die Schlüssel mehrere Megabye Zufall - und die dürfen natürlich nicht vorhersagbar sein. Mehrere Millionen Ziffern einer irrationalen Zahl zu berechnen dürfte sehr aufwändig sein. Da gibt es wesentlich effizientere Methoden.



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viertel
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-19 03:25


2019-11-18 20:06 - hyperG in Beitrag No. 8 schreibt:
Beispiel:
Position=28642224609576 NK=666666666666666669477894081904...
Wer also ab Position 28642224609576  schaut, bekommt 17 mal die Ziffer 6, was man für ein primitiven "Geburtstagsspiel-Generator" (10 Gäste und jeder hat eine Nummer gezogen und 17 mal kommt die 6) absolut nicht gebrauchen kann...
Solche Ziffernfolgen bei einem Zufallszahlengenerator auszuschließen ist genauso unsinnig wie eine Lottoziehung 1,2,3,4,5,6 für unmöglich zu halten.
Allerdings ist eine solche Sitzverteilung in der Tat praktisch unbrauchbar. Stimmt. Aber das ist nicht die Schuld der Zufallszahlen. Wenn du stattdessen einen Würfel nimmst (meinetwegen auch einen Ikosaeder), dann kann der genauso die Ziffernfolge 666666666666666669477894081904 produzieren. Die Frage ist, wie das Sitzverteilungsprogramm damit umgeht. Z.B. wiederholt auftretende Sitznummern ignorieren und einfach die nächste Zahl nehmen.


-----------------
Bild



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 17:43


2019-11-18 20:06 - hyperG in Beitrag No. 8 schreibt:
Die meisten denken bei Zufallszahlen nur an Gleichverteilung der Ziffern und an gleiche Anzahl aller Ziffern und an die bereits genannte
Normalität einer Zahl.

ABER "echte Zufallsgeneratoren" haben auch nach einer Konvertierung in große räumliche Strukturen noch ein "schönes gleichverteiltes Aussehen". Unter
MathematischeKonstanten in 3D
habe ich verschiedene Konstanten verglichen.

Neben der Gleichverteilung der Ziffern stellst du also noch eine weitere Bedingung an Zufallszahlen.

Frage:
Welche Kriterien müssen Zufallszahlen erfüllen ?
Gibt es darüber Konsens ?

mfg
cx










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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-19 18:15


2019-11-19 17:43 - carlox in Beitrag No. 11 schreibt:
Frage:
Welche Kriterien müssen Zufallszahlen erfüllen ?
Gibt es darüber Konsens ?

Siehe etwa hier, Abschnitt 2.4.3



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-11-19 22:47


2019-11-19 17:43 - carlox in Beitrag No. 11 schreibt:
...
Welche Kriterien müssen Zufallszahlen erfüllen ?
Gibt es darüber Konsens ?

mfg
cx


Natürlich sagt Dir jeder Statistiker, was bei Wikipedia zur Güte eines Zufallsgenerators steht.

StrgAltEntf hat ja auch schon ein LINK dazu geschickt.

ABER genau das reichte mir alles nicht! Deshalb habe ich ja die Wandlung in 3D-Grafiken visualisiert, wo man mit bloßem Auge in 1 s erkennt, ob die Güte OK ist, oder ob da Strukturen - und somit Abweichungen zum perfekten Zufallsgenerator - gibt.

Du kannst mir auch gern mindestens 25000 Ziffern schicken, und ich visualisiere diese.

Übrigens erzeugen auch Nichtlineare Funktionen wie Fakultät (ohne die Nullen am ende), Potenzen und Fibonacci ab mehrere Mio. Stellen schön gleichverteilte Ziffernfolgen (ohne Nachkommastellen).

Ziffernhäufigkeit 3^3221225472 Dateilänge:1536915139
0=153686258
1=153689428
2=153691346
3=153698303
4=153699231
5=153688824
6=153663491
7=153688333
8=153691524
9=153718401

Ob diese jedoch Strukturen enthalten... habe ich noch nicht getestet.



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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 08:28


2019-11-19 22:47 - hyperG in Beitrag No. 13 schreibt:
Natürlich sagt Dir jeder Statistiker, was bei Wikipedia zur Güte eines Zufallsgenerators steht.
StrgAltEntf hat ja auch schon ein LINK dazu geschickt.
ABER genau das reichte mir alles nicht! Deshalb habe ich ja die Wandlung in 3D-Grafiken visualisiert, wo man mit bloßem Auge in 1 s erkennt, ob die Güte OK ist, oder ob da Strukturen - und somit Abweichungen zum perfekten Zufallsgenerator - gibt.

Du hast also ein neues Kriterium entwickelt, um die Qualität von Zufallszahln zu definieren.
Was sagt dazu die mathematische Community ?
Du könntest es ja veröffentlich oder einem Matheprof (mit entsprechender Expertise) zukommen lassen.

mfg
cx





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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-11-22 08:59


Nicht komplett neue Idee. Menschen haben sich schon immer kontinuierlich weiterentwickelt. Es ist nur eine Verfeinerung der Idee aus
Pi-nicht-zufaellig-genug.

Genau wie auch folgende Grafik schon von mehreren Leuten erzeugt wurde
(andere Basis, damit man genau "hoch", "runter" li + re + vor + zurück bekommt):
hier online drehbar
Wenn ein Regler den Fokus hat, kann man das "Korallengebilde" mit den Tastaturpeilen li + re stufenlos drehen.



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