Die Mathe-Redaktion - 13.12.2019 08:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 522 Gäste und 11 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Schiefkörper der Quaternionen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Schiefkörper der Quaternionen
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 663
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 10:56


Hallo alle zusammen,

sei $\mathbb H$ der Schiefkörper der Quaternionen. Wir definieren nun eine Teilmenge durch $V:=\left\{xi+yj+zk\mid x,y,z\in\mathbb R\right\}\subset\mathbb H$. Des Weiteren sollte bereits vorher gezeigt werden, dass $G=\left\{q\in\mathbb H\mid q\overline{q}=1\right\}\subset \mathbb H\backslash \{0\}$ eine Untergruppe bildet.

Nun soll Folgendes gezeigt werden:


Zu $qvq^{-1}\in V$ habe ich eine Idee, ich versuche das mal gleich explizit nachzurechnen, aber beim Rest weiß ich noch nicht so ganz, wie ich da vorzugehen habe.


--Neymar



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 663
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 22:08


Entschuldigt, dass ich ein bisschen vage darüber war, was mir genau klar ist.

Also ich habe gerade versucht zu zeigen, dass die Matrix von $\gamma_q$ bezüglich der $\mathbb R$-VR-Basis $(i,j,k)$ in $\text{SO}(3,\mathbb R)$ liegt. Dabei bin ich wie folgt vorgegangen: Ich habe $\gamma_q(i), \gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ berechnet, wobei $q$ beliebig ist.

Für $\gamma_q(i)$ kommt z.B. Folgendes raus: $\gamma_q(i)=\left( q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2\right)i+2(q_1q_2-q_0q_3)j+2(q_0q_2+q_1q_3)k$.

Nun würde ich dies in die erste Spalte der darstellenden Matrix $U$ reinschreiben, indem ich die VR-Basen $(i,j,k)$ und die kanonische Basis $(e_1, e_2, e_3)$ miteinander identifiziere: $i=e_1, j=e_2, k=e_3$. Damit kann das Bild $\gamma_q(i)$ als Vektor geschrieben werden. Dies habe ich auch für $\gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ getan und erhalte folgende Matrix $U$: \[U = \begin{pmatrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2q_1q_2-2q_0q_3 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & 2q_2q_3-2q_0q_1 \\ 2q_1q_3-2q_0q_2& 2q_0q_1 + 2q_2q_3 & q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}\] Also \(\underline{\text{theoretisch}}\) könnte ich nun die Determinanten dieser Matrix, die Transoponierte und dann $UU^{T}$ berechnen, um zu zeigen, dass $U\in \text{SO}(3,\mathbb R)$. Ich habe auch angefangen, die Determinate zu berechnen, und dann aufgehört.

Könnte mir jemand vielleicht einen Stupser geben, wie ich die Aufgabe lösen kann, ohne stundenlange stumpf zu rechnen? :-)

Viele Grüße,
Neymar


--Neymar



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4149
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-19 22:48


Was hier eigentlich hintersteckt, ist eine geometrische Interpretation von Quaternionen als Drehungen (im $3$-dimensionalen Raum).

Für ein Einheitsquaternion $q \in G$ kann man zunächst einmal einen Einheitsvektor $u \in V \cong \IR^3$ und einen Winkel $\theta$ finden mit $q = \cos(\theta/2) + u \sin(\theta/2)$. Die entscheidende Beobachtung ist nun: $\gamma_q : V \to V$ ist gerade die Drehung um die durch $u$ gegebene Achse mit dem Drehwinkel $\theta$ (insbesondere also in $SO(V)$ enthalten).

Ein Beweis steht zum Beispiel hier. Ich weiß allerdings nicht, ob du die dafür erforderlichen Voraussetzungen hast.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 663
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 00:01


Hi,

das mit den Drehungen kommt erst im nächsten Aufgabenteil dran. Gibt es keine andere Möglichkeit?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]