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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Moduln » Notation direkte Summe und Bedeutung in der Algebra
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Universität/Hochschule J Notation direkte Summe und Bedeutung in der Algebra
Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 16:35


Hallo,
warum schreib man \(A\oplus B\) statt \(A\times B\) für Moduln? Die linke Notation ist doch nur dafür da, wenn \(A\) und \(B\) Unterräume eines Moduls sind, dann muss deren Schnitt \(0\) sein und wenn dem nicht so ist, meint man ja einfach \(A\times B\). Und oft ist nicht klar, ob wir in letzteren Situation sind oder nicht. Das große Plus ergibt nur bei unendlich vielen direkten Summanden in meinen Augen Sinn...
Ich habe das Gefühl, dass die Professoren selbst nicht genau wissen, wann man was benutzt oder was der Unterschied dazwischen ist...


Und jetzt zur Bedeutung. Ich habe in letzter Zeit in der homologischen Algebra öfters mitbekommen, dass man irgendeinen Raum als direkte Summe von anderen Räumen schreiben möchte, um den Raum besser zu verstehen. Liegt es daran, dass die direkten Summanden sich unabhängig voneinander verhalten und sie oft viel kleiner sind als der ursprüngliche Raum, sodass man diese besser untersuchen kann (etwa wie beim Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen - oder allgemeiner Moduln über PIDs)?

Red_



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 17:38


$A \oplus B$ ist das Koprodukt von $A$ und $B$ (und es existiert auch dann, wenn $A,B$ nicht bereits Untermoduln eines Moduls sind!), wohingegen $A \times B$ das Produkt von $A$ und $B$ ist. Für Moduln sind diese Objekte "zufälligerweise" isomorph (und es ist daher eigentlich egal, was man schreibt), im Allgemeinen Fall sind das völlig unterschiedliche Objekte. Beim Koprodukt liegt die "Betonung" auf die Inklusionen $A \to A \oplus B \leftarrow B$, beim Produkt auf die Projektionen $A \leftarrow A \times B \to B$. Bei unendlich vielen Moduln stimmen $\bigoplus_{i \in I} A_i$ und $\prod_{i \in I} A_i$ nicht mehr überein, aber beide Objekte existieren und werden auch benutzt. Alle weiteren grundlegenden Fragen dazu werden hier geklärt:

de.wikipedia.org/wiki/Produkt_und_Koprodukt
en.wikipedia.org/wiki/Biproduct

Zum zweiten Absatz: Ja. Aber um eine präzisere und ausführlichere Antwort zu erhalten, müsste die Frage präzisiert werden.



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 18:08


Ah ok, das klärt schon mal einiges.
Aber wenn ich irgendwo lese \(A\oplus B\) und nichts weiteres dazu steht, dann meint man immer das Koprodukt und nicht die Eigenschaft, dass zusätzlich der Schnitt leer ist (auch wenn beide Räume potenziell Unterraum von einem größeren Raum sein können)?

Zur zweiten Absatz von mir:
Also aus irgendeinem Grund möchte man, dass z.B. kurze exakte Sequenzen von Moduln splitten, s.d. der mittlere Modul direkte Summe von den beiden nebenstehenden Moduln ist.
Oder: mein Alg.Topo. Prof. ist auch immer froh, wenn wir etwas als direkte Summe umgeschrieben haben.
Hier liegt es glaube ich daran, dass die Homologie mit direkten Summen kommutiert und dass dies viele Rechnungen vereinfacht, um die Homologie von einem topologischen Raum zu bestimmen, oder?

Und vor kurzem habe ich mit einem Prof (Experte in der Darstellungstheorie von Algebren) gesprochen über Darstellungen von K-Algebren oder sowas und dass der Dimensionsbegriff (also als K-Vektorraum) dort nicht viel aussagt und man stattdessen die Höhe betrachtet (war ähnlich definiert wie bei der Höhe eines Primideals) usw. Er hat auf jeden Fall viel erzählt, womit er sich beschäftigt und zwischen drin meinte er kurz sowas wie ,,dann haben wir A als direkte Summe von diesen B_i's und es reicht aus diese B_i's zu untersuchen'' oder so ähnlich, kann mich nicht mehr so gut erinnern.

Auch hier muss es ja einen Grund geben, warum direkte Summe so schön sind. Er hat noch den Tor-Funktor, den Hom-Funktor und den Ext-Funktor
im Gespräch paar mal erwähnt. Vielleicht kommutieren diese auch mit direkten Summen und letzteres ist deshalb so wichtig?

Red_






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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-20 18:33


2019-11-20 18:08 - Red_ in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber wenn ich irgendwo lese \(A\oplus B\) und nichts weiteres dazu steht, dann meint man immer das Koprodukt und nicht die Eigenschaft, dass zusätzlich der Schnitt leer ist (auch wenn beide Räume potenziell Unterraum von einem größeren Raum sein können)?

Du müsstest hier einige Dinge klarstellen: Redest von Räumen oder von Moduln? Und sind diese abstrakt gegeben (dann ergibt es keinen Sinn, nach dem Schnitt zu fragen!) oder bereits Unterräume / Untermoduln eines größeren Objektes?

Stelle am besten eine kompakte, präzise Frage (oder mehrere), in der alle Variablen eindeutig definiert sind.

Also aus irgendeinem Grund möchte man, dass z.B. kurze exakte Sequenzen von Moduln splitten, s.d. der mittlere Modul direkte Summe von den beiden nebenstehenden Moduln ist.

Der Grund ist, dass direkte Summen besonders einfach zu verstehen sind (in Abhängigkeit von den beiden Summanden). Das kann man von allgemeinen kurzen exakten Sequenzen nicht behaupten. Du kannst dir ja einmal als kleine Übung überlegen, wieviele $\IZ$-Moduln $A$ (bis auf Isomorphie) in eine kurze exakte Sequenz

$0 \to \IZ/4\IZ \to A \to \IZ/4\IZ \to 0$

passen.

Hier liegt es glaube ich daran, dass die Homologie mit direkten Summen kommutiert und dass dies viele Rechnungen vereinfacht, um die Homologie von einem topologischen Raum zu bestimmen, oder?
 
Das ist ein Grund von vielen, genau.

zwischen drin meinte er kurz sowas wie ,,dann haben wir A als direkte Summe von diesen B_i's und es reicht aus diese B_i's zu untersuchen''
 
Das ist im jeweiligen Einzelfall zu prüfen, ob eine Aussage über die Summanden sich auf ihre direkte Summe überträgt. Es ist aber sehr oft der Fall, und irgendwann gewöhnt man sich auch daran, so etwas im Kopf nachzuprüfen.

Er hat noch den Tor-Funktor, den Hom-Funktor und den Ext-Funktor
im Gespräch paar mal erwähnt. Vielleicht kommutieren diese auch mit direkten Summen

Ja. Genauer gesagt gilt:

$\mathrm{Tor}_*(\bigoplus_{i \in I} A_i,B) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}_* (A_i,B)$

$\mathrm{Tor}_*(A,\bigoplus_{i \in I} B_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}_* (A,B_i)$

$\mathrm{Ext}^* (\bigoplus_{i \in I} A_i,B) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^* (A_i,B)$  (!)

$\mathrm{Ext}^*(A,\bigoplus_{i \in I} B_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Ext}^* (A,B_i)$

Der Hom-Funktor ist ein Spezialfall: $\mathrm{Hom} = \mathrm{Ext}^0$.



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 20:09



Du müsstest hier einige Dinge klarstellen: Redest von Räumen oder von Moduln? Und sind diese abstrakt gegeben (dann ergibt es keinen Sinn, nach dem Schnitt zu fragen!) oder bereits Unterräume / Untermoduln eines größeren Objektes?

Stelle am besten eine kompakte, präzise Frage (oder mehrere), in der alle Variablen eindeutig definiert sind.

Ja, ich sollte genauer werden. Ich rede von Moduln. Also wenn diese abstrakt gegeben sind, dann ist es klar. Mir kam die Frage bei einer Aufgabe auf. Es ist eher ein zwischen Ding:
Sei A ein \(\mathbb{Z}\)-Modul und sei \(a\) ein neues abstraktes Element. Dann definiere \(A\oplus \mathbb{Z}\langle a \rangle \).

Also das meint glaube ich einfach das Koprodukt, da extra das \(a\) dazu geschrieben wird, um es von den Elementen von \(A\) zu unterscheiden.
Aber die Moduln könnten ja trotzdem irgendwie in einem Kontext gegeben sein, wo man einen größeren Modul finden kann, der beide enthält und dann müsse man ja eventuell doch überprüfen, ob der Schnitt trivial ist. Ich glaube aber eher, dass man stets das Koprodukt meint, wenn es nicht wirklich offensichtlich ist, dass beide Moduln Untermoduln eines größeren Moduls sind.


Du kannst dir ja einmal als kleine Übung überlegen, wieviele $\IZ$-Moduln $A$ (bis auf Isomorphie) in eine kurze exakte Sequenz

$0 \to \IZ/4\IZ \to A \to \IZ/4\IZ \to 0$

passen.

Mache ich! Und danke für die Identitäten, ich schaue bald darauf zurück.



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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