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Analysis » Folgen und Reihen » Wurzelkriterium schärfer als Quotientenkriterium
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Universität/Hochschule Wurzelkriterium schärfer als Quotientenkriterium
MatheDude
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Dabei seit: 19.11.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 17:46


Hallo,

ich komme bei einem Beweis nicht weiter und bräuchte Hilfe. Dadurch bin ich auf dieses Forum gestoßen und dachte mir, dass vielleicht mir jemand hier helfen kann.

Die Aufgabe lautet:

fed-Code einblenden

Mein Ansatz die Definition für limsup zu nutzen jedoch komme ich nicht weiter.

Bin für jede Hilfe dankbar.



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 18:45

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo MatheDude und willkommen auf dem Matheplaneten!

2019-11-19 17:46 - MatheDude im Themenstart schreibt:
Mein Ansatz die Definition für limsup zu nutzen jedoch komme ich nicht weiter.

Nun, bist du dir sicher, dass du das schon einen Ansatz nennen willst?

Die Grundidee eines Beweises ist die folgende. Sei o.B.d.A. \(x_n\) eine positive Folge und seien

\[a=\liminf\frac{x_{n+1}}{x_n},\ A=\limsup\frac{x_{n+1}}{x_n}\]
sowie

\[b=\liminf\sqrt[n]{x_n},\ B=\limsup\sqrt[n]{x_n}\]
Dann zeigt man die Ungleichungskette

\[0\le a\le b\le B\le A\le\infty\]
die ja für das eigentlich zu zeigende steht: dass das Wurzelkriterium schärfer ist als das Quotientenkriterium. Heißt: es gibt Fälle konvergenter  Reihen, bei denen das Quotientenkriterium versagt aber das Wurzelkriterium die Konvergenz liefert.

Nehmen wir nun Konvergenz an, so ist sicherlich \(B<\infty\) und es gibt zu jedem \(0<\varepsilon<a\) ein \(N\in\IN\), so dass für alle \(n\ge N\) die folgende Ungleichung gilt:

\[a-\varepsilon<\frac{x_{n+1}}{x_n}<B+\varepsilon\]
Diese Ungleichung ist dein Ausgangspunkt. Mache dir zunächst klar, dass sie für jedes \(n\ge N\) gilt. Das kannst du ausnutzen, um durch Multiplikation mehrerer solcher Ungleichungen für fortlaufende \(n\) in der Mitte ein Teleskopprodukt zu erhalten.

Mit dem Nenner des so in der Mitte der Ungleichung enstehenden Quotienten kann man die nun erhaltene Version der Ungleichung durchmultiplizieren und anschließend die n. Wurzel ziehen. Dann noch ein Grenzübergang für \(n\to\infty\) und das gewünschte steht im Prinzip da...

Versuche mal, das nachzuvollziehen und so gut wie möglich umzusetzen.

Es ist aber hier wirklich kein Zweizeiler, so dass man normalerweiser für eine solche Anfrage hier im Forum schon mit dem einen oder anderen konkreten Versuch kommen sollte (das ist jetzt im Sinne eines zielführenden Threads gedacht und weniger als Kritik gemeint).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheDude
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:29


Hallo,

danke für Ihre Antwort.
Da habe ich wirklich nicht meinen Ansatz hinzugefügt ich Dummkopf.
Wollte eigentlich im Sinne einer Kugel argumentieren (ist ja ähnlich wie Ihre Schreibweise) habe das anscheinend vergessen weiter auszuführen.

Jedoch verstehe ich Ihre darstellung ab einem bestimmten Punkt nicht (bin sehr neu in der Mathematik).

Ich verstehe, dass ich
fed-Code einblenden
zeigen muss

"Nehmen wir nun Konvergenz an, so ist sicherlich B<∞ und es gibt zu jedem 0<ε<a ein N∈N, so dass für alle n≥N die folgende Ungleichung gilt:"

Ab diesem Abschnitt stehe ich etwas auf dem Schlauch.

Ich muss doch erstamal beweisen, dass
fed-Code einblenden
gilt, da wir hierbei annehmen, dass der liminf von fed-Code einblenden kleiner ist als der limsup von der n-ten Wurzel von fed-Code einblenden

Aber ich nehme das erstmal an. Vielleicht sehe ich es später warum es gilt.
Jedoch habe ich das größte Problem im darauffolgenden Abschnitt, da wir zum Beispiel Teleskopsummen nicht behandelt haben. Und wie multipliziert man mehrer solcher Ungleichungen, sodass man auf das Gewünschte kommt?

Wie gesagt bin noch relativ neu.
Danke für Ihre Hilfe.

MfG




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 19:51

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich probiere mich mal noch an einer schnellen Antwort, bevor ich für heute meinen 'Dienst' hier quittiere.

2019-11-19 19:29 - MatheDude in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich verstehe, dass ich
fed-Code einblenden
zeigen muss

Richtig erkannt. Das fällt nicht vom  Himmel sondern wird angenommen und muss gezeigt werden, jedoch auch wieder nur teilweise. Denn \(a\le A\) und \(b\le B\) sind ja nach Definition schon klar.

2019-11-19 19:29 - MatheDude in Beitrag No. 2 schreibt:
"Nehmen wir nun Konvergenz an, so ist sicherlich B<∞ und es gibt zu jedem 0<ε<a ein N∈N, so dass für alle n≥N die folgende Ungleichung gilt:"

Ab diesem Abschnitt stehe ich etwas auf dem Schlauch.

Ich muss doch erstamal beweisen, dass
fed-Code einblenden
gilt, da wir hierbei annehmen, dass der liminf von fed-Code einblenden kleiner ist als der limsup von der n-ten Wurzel von fed-Code einblenden

Aber ich nehme das erstmal an. Vielleicht sehe ich es später warum es gilt.

Das ist ja auch richtig. Wir nehmen die erste Ungleichungskette und damit auch die obige Ungleichung zunächst an und beweisen das nun.

2019-11-19 19:29 - MatheDude in Beitrag No. 2 schreibt:
Jedoch habe ich das größte Problem im darauffolgenden Abschnitt, da wir zum Beispiel Teleskopsummen nicht behandelt haben. Und wie multipliziert man mehrer solcher Ungleichungen, sodass man auf das Gewünschte kommt?

Nehmen wir einmal \(m\ge N\) und \(n>m\) an. Dann könnte man die folgenden Quotienten hintereinander multiplizieren:

\[\frac{x_{m+1}}{x_m}\cdot\frac{x_{m+2}}{x_{m+1}}\cdot\dotsc\cdot\frac{x_n}{x_{n-1}}\]
Hier kürzt sich jeder Zähler mit dem Nenner des nächsten Bruchs heraus, so dass wir

\[\frac{x_{m+1}}{x_m}\cdot\frac{x_{m+2}}{x_{m+1}}\cdot\dotsc\cdot\frac{x_n}{x_{n-1}}=\frac{x_n}{x_m}\]
bekommen. So etwas nennt man ein Teleskopprodukt.

Nun kannst du aber für jeden dieser Quotienten die gleiche Ungleichung aufstellen, also

\[a-\varepsilon<\frac{x_{m+k+1}}{x_{m+k}}<B+\varepsilon\]
Da wir positive Folgen angenommen haben, können wir all diese Ungleichungen miteinander multiplizieren, ohne dass sich irgendeine Relation umkehrt. In der Mitte entsteht dabei das angesprochene Teleskopprodukt, die Terme links und rechts werden entsprechend potenziert.

Mache das mal, dann siehst du vielleicht auch, weshalb man schlussendlich nach der Multiplikation mit \(x_m\) die n. Wurzel ziehen kann...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheDude
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 20:08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
(2019-11-19 19:51 - Diophant in <a href=viewtopic.php?

Nun kannst du aber für jeden dieser Quotienten die gleiche Ungleichung aufstellen, also

\[a-\varepsilon<\frac{x_{m+k+1}}{x_{m+k}}<B+\varepsilon\]
Da wir positive Folgen angenommen haben, können wir all diese Ungleichungen miteinander multiplizieren, ohne dass sich irgendeine Relation umkehrt. In der Mitte entsteht dabei das angesprochene Teleskopprodukt, die Terme links und rechts werden entsprechend potenziert.

Mache das mal, dann siehst du vielleicht auch, weshalb man schlussendlich nach der Multiplikation mit \(x_m\) die n. Wurzel ziehen kann...


In diesem Falle wäre das potenzieren doch so, dass Exponenten von n haben, da wir mit der Teleskopsumme n Glieder miteinander multiplizieren oder nicht?
Wenn das aber richtig ist haben wir:
fed-Code einblenden

oder habe ich etwas falsch verstanden?

MfG



\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-19 20:24


Hallo,

die Potenz links und rechts stimmt noch nicht. Überlege nochmal, wie viele Faktoren in deinem Teleskopprodukt stecken...


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 20:51


mhm... Ich dachte wir hätten insgesamt n Elemente in unserem  Teleskopprodukt.
Wenn dem nicht so ist weiß ich leider auch nicht weiter.
Könnten Sie mir also mitteilen was für ein Exponenten wir haben?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-19 21:58


Hallo,

mal eine gedankliche Einlage: du bist vom 10. bis zum 20. eines Monats in Urlaub. Wie viele Tage bist du dann abwesend (und sag jetzt nicht 10... wink ).

Logik erkannt? Dann starte nochmals einen Versuch, etwa über die Zähler. Wie viele (natürliche) Zahlen sind es von m+1 bis n?

Das Resultat ergibt die korrekte Potenz für die Terme links und rechts.


Gruß, Diophant



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MatheDude
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 22:08


Danke für Ihre Hilfe.
Nun, das müssten dann 11 sein wenn ich mich nicht irre.
Bin mir aber gerade aber unsicher warum wir gerade 11 mal dies multiplizieren.
Aber dann hätten wir doch letztendlich:

fed-Code einblenden
Und wie kann man dann in diesem Falle weitermachen?
Da mir nicht bekannt ist wie ich auf die n-te Wurzel komme



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-19 22:14


Hallo,

das mit den 11 war ein gedanklicher Einschub, die Zahl 11 hat mit der Aufgabe doch nichts zu tun...

Ich hatte dich ja gebeten, das Prinzip auf das eigentliche Problem anzuwenden und bitte dich hiermit erneut darum.

Und dieser Bitte füge ich eine weitere hinzu: denke über gegebene Antworten gründlicher (und ggf. länger) nach und versuche auch jedesmal, wieder ein Stück weit selbst über das bisher besprochene hinauszukommen.


Gruß, Diophant



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MatheDude
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 22:20


Tut mir leid wenn ich etwas zu schnell bin und damit diese Fehler mache.
Muss morgen diese Aufgabe vorzeigen, weshalb ich versuche das schnell zu machen.
Also als meinen zweiten Versuch (anwendet mit dem Beispiel würde ich sagen das der Exponent n+1 wäre und nicht wie im Ersten nur n.

Danke für den Tipp, diesen werde ich mir in Zukunft zu Herzen nehmen aber wie gesagt gerade bin ich etwas unter Druck.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-19 22:40

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

vorneweg: deine Vorgehensweise hier finde ich nicht in Ordnung. Von daher wird dieses hier von meiner Seite aus die letzte Antwort in diesen Thread sein.

Es ist \(n-(m+1)+1=n-m\) der korrekte Exponent.

Die grobe Beweisidee steht in Beitrag #1. Und ich sehe den Sinn eines solchen Forums und meiner Mitarbeit hier ehrlich gesagt nicht darin, das mangelhafte Zeitmanagement einiger Studenten zu kompensieren.


Gruß, Diophant


\(\endgroup\)


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