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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz in normiertem Vektorraum
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Universität/Hochschule Konvergenz in normiertem Vektorraum
raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 18:00


Hallo zusammen

Ich versuche mich an folgender Aufgabe:



Die Aufgabe verlangt von mir, dass ich zuerst die Folge


\(a_n\) betrachte. Wobei ich gemäss Aufgabenstellung auf folgende Folge schliesse:

\(\left(
\begin{array}{c}
A_{0,0} \\
A_{0,1} \\
A_{0,2} \\
A_{0,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{0,k-1} \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
A_{1,0} \\
A_{1,1} \\
A_{1,2} \\
A_{1,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{1,k-1} \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
A_{2,0} \\
A_{2,1} \\
A_{2,2} \\
A_{2,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{2,k-1} \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
A_{3,0} \\
A_{3,1} \\
A_{3,2} \\
A_{3,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{3,k-1} \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
A_{4,0} \\
A_{4,1} \\
A_{4,2} \\
A_{4,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{4,k-1} \\
\end{array}
\right)...\left(
\begin{array}{c}
A_{n,0} \\
A_{n,1} \\
A_{n,2} \\
A_{n,3} \\
. \\
. \\
. \\
A_{n,k-1} \\
\end{array}
\right)\)

Wenn ich das nun gem. Aufgabenstellung mit Zahlen fülle, sollte dies wie folgt aussehen:

\(\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
. \\
0 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{3} \\
0 \\
0 \\
. \\
. \\
. \\
0 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{3} \\
\frac{1}{4} \\
\frac{1}{5} \\
0 \\
. \\
. \\
. \\
0 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{4} \\
\frac{1}{5} \\
\frac{1}{6} \\
\frac{1}{7} \\
. \\
. \\
. \\
0 \\
\end{array}
\right),\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{5} \\
\frac{1}{6} \\
\frac{1}{7} \\
\frac{1}{8} \\
. \\
. \\
. \\
0 \\
\end{array}
\right)...\)

Nun stimmt das, wie ich mir das vorstelle?

Gemäss Aufgabenstellung muss ich nun überprüfen, ob das im normiertem R^k Vektorraum konvergent ist.

Ich weiss, dass die Norme durch das grösste Element der Folge in Betrag definiert ist. Stimmen meine Überlegungen?

In diesem Fall würde ich annehmen, dass die Folge gegen den Nullvektor konvergiert. Könnte ich also in diesem Fall die Konvergenz wie die "normale" Konvergenz einer Folge beweisen?

Vielen Dank für die Hilfe!



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 19:12


Hallo raede,

2019-11-19 18:00 - raede im Themenstart schreibt:
1) Nun stimmt das, wie ich mir das vorstelle?

2) Ich weiss, dass die Norme durch das grösste Element der Folge in Betrag definiert ist. Stimmen meine Überlegungen?

3) In diesem Fall würde ich annehmen, dass die Folge gegen den Nullvektor konvergiert.

zu 1) Das sieht gut aus.

zu 2) Du sollst ja zwei verschiedene Normen betrachten. Für die Norm \(||.||_\infty\) stimmt deine Überlegung. Wie sieht es bei \(||.||_1\) aus?

zu 3) Für \(||.||_\infty\) kannst du die Norm direkt hinschreiben. Und daraus folgt dann deine Annahme relativ einfach. Wie sieht es bei \(||.||_1\) aus?



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:25


Vielen Dank für die Antwort.

Leider weiss ich nicht wie ich die Norm in Latex darstellen kann, deshalb:

Bei der Norm 1 würden die Komponenten jedes Vektors zusammen gezählt. Betrachte ich nun die Summe (d. Komponenten) jedes einzelnen Vektors als Folge würde dies divergieren.

Stimmt das?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 19:30


2019-11-19 19:25 - raede in Beitrag No. 2 schreibt:
Betrachte ich nun die Summe (d. Komponenten) jedes einzelnen Vektors als Folge würde dies divergieren.

Stimmt das?

Wiese soll das divergieren? (Hier liegt nicht die harmonische Reihe vor, da es jeweils nur endlich viele Summanden sind.)

Die 1-Norm kannst du in Latex mit ||.||_1 schreiben. Ist aber wahrscheinlich nicht die ganz reine Lehre.



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 19:47


Oh, das stimmt.

Wenn ich jetzt nochmals meinen ersten Beitrag anschaue:

Bei der Norm 1 würde es eine Folge ergeben mit:


\(a_n: 1, (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}), (\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}), (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}), ...\)

Diese Folge konvergiert, falls sie unendlich viele Glieder hätte gegen 0. Da k aber ein Element der natürlichen Zahlen ist und

\(\mathbb{R}^k\) eine endliche Dimension hat, wird diese Folge konvergieren.

Stimmt diese Überlegung?
 



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-19 20:04


2019-11-19 19:47 - raede in Beitrag No. 4 schreibt:
Diese Folge konvergiert, falls sie unendlich viele Glieder hätte gegen 0. Da k aber ein Element der natürlichen Zahlen ist und

\(\mathbb{R}^k\) eine endliche Dimension hat, wird diese Folge konvergieren.

Stimmt diese Überlegung?

Das sind erst einmal Behauptungen. Kannst du sie beweisen?



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 20:14


Also wenn sie unendlich wäre, wäre diese Folge gleich der harmonischen Folge welche bekanntlich konvergiert.

Nun, wenn sie - wie in unserem Fall - endlich ist, ist es nicht eindeutig, dass sie dann konvergiert? Das letzte Glied der Folge wird der Grenzwert sein.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-19 20:28


Ich glaube, da bringst du etwas durcheinander. Die harmonische Reihe divergiert. Außerdem beginnt die harmonische Reihe immer mit 1. Hier hat man aber immer einen anderen Anfang. (Erst 1, dann 1/2, 1/3 usw.) Ist diese Folge mit sinkenden Anfangsgliedern und wachsender Zahl von Summanden konvergent oder divergent?

Hier ist der Fall aber anders. Nimm etwa k = 4. Dann lautet die Folge
1   + 0   + 0   + 0
1/2 + 1/3 + 0   + 0
1/3 + 1/4 + 1/5 + 0
1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8
1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9
...
Wieso konvergiert diese Folge?



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 20:53


Wenn ich nun in dem Beispiel mit k= 4 die Folge betrachte, weiss ich, wenn wir jeden Vektor und die Komponenten einzeln betrachten, dass die Summe aller Komponenten eines Vektors konvergiert, da k endlich ist. Zudem weiss ich, dass Summer aller Komponenten eines Vektors immer kleiner ist als der vorherige Vektor.

Somit muss die Folge konvergieren.
Oder müsste ich versuchen diese Folge in Abhängigkeit von k darzustellen und danach die Konvergenz beweisen?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-19 21:57


Ich denke, dass du die Sache zumindest intuitiv durchschaut hast. Kannst du es auch formal beweisen? Was wäre dazu zu tun?



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 13:25


Ich habe gerade einen Satz aus dem Skript gefunden, der mir hier vielleicht weiterhelfen könnte. Es handelt sich um folgenden Satz:



Ich habe bereits bei der unendlich Norm bewiesen, dass sie konvergiert. So muss gemäss diesem Satz das entsprechend auch in 1-Norm konvergieren, da sie äquivalent sind, oder?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-11-20 17:43


Ja, so ist es. Mithilfe dieses Theorems kannst du die Sache erledigen. (Aber eigentlich müsste man es ja auch direkt zeigen können  cool )



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