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Mathematik » Zahlentheorie » Beweis zur Anzahl von Primteilern einer Zahl
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Universität/Hochschule J Beweis zur Anzahl von Primteilern einer Zahl
katharinax3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19


Hallo,

auf einem Übungsblatt in Zahlentheorie hatten wir letzte Woche eine Beweisaufgabe, die leider selbst unser Tutor nicht vollständig erklären konnte. Ich hoffe dass es hier womöglich jemanden gibt der mir helfen kann, sie zu verstehen! :)

Die Aufgabe bestand aus vielen Unteraufgaben, die einzelne Schritte im Beweis darstellten, und die gut lösbar waren. Die Frage bezieht sich auf den folgenden Schritt.

Bezeichne
\[
    T(n) = \left| \lbrace p\:\text{prim} : p\mid n \rbrace \right|
\] die Anzahl der Primteiler einer Zahl $n$, und
\[
    \overline{T_N} = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} T(n)
\] die durchschnittliche Anzahl von Primteilern bis zur Zahl $N$. (Davon wird viel später im Beweis der Grenzwert $N \rightarrow \infty$ ermittelt)

Nun sollte in dem Schritt folgendes gezeigt werden:
\[
   \big\lbrace n : \left| \frac{T(n)}{\log\log n} -1\right| > \epsilon\big\rbrace \subseteq \lbrace n : \left| \frac{T(n)}{\overline{T_N}} -1\right| > \frac{\epsilon}{3}\rbrace \cup \lbrace n : \left| \frac{\overline{T_N}}{\log\log n} -1\right| > \frac{\epsilon}{3}\rbrace
\]
Dazu sollte folgendes verwendet werden, was in einem vorherigen Schritt bewiesen wurde:

Seien $\alpha > 0$, $\beta > 0$ und $0 < \delta < 1$ reelle Zahlen mit $\left|\alpha - 1\right| \leq \delta$ und $\left|\beta - 1\right| \leq
 \delta$. Dann gilt:
\[
\left|\alpha\beta -1 \right| \leq 3\delta
\]
Ich hoffe mir kann jemand helfen :) Unser Tutor ist leider wirklich nicht der beste und ist aufgeschmissen wenn er (wie jetzt) keine Musterlösungen für Aufgaben bekommt.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19


Zeige die Kontraposition: Sei $\left| \frac{T(n)}{\overline{T_N}}-1 \right| \leq \frac{\varepsilon}{3}$ und $\left| \frac{\overline{T_N}}{\log(\log(n))}-1 \right| \leq \frac{\varepsilon}{3}$. Aus dem Lemma folgt dann $\left | \frac{T(n)}{\overline{T_N}} \cdot \frac{\overline{T_N}}{\log(\log(n))} -1 \right| \leq \varepsilon$. Jetzt kürzt man $\overline{T_N}$ und ist fertig.



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katharinax3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Hallo!

Wie meinst du Kontraposition bei einer Mengengleichung?



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katharinax3 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
katharinax3 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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