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Strukturen und Algebra » Polynome » Beweis Komposition von Polynomen
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis Komposition von Polynomen
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19 19:18


Hallo,

könnt Ihr mir bitte wieder helfen?

Ist meine Vermutung unten korrekt und gut formuliert? Wie kann man sie verbessern?

Ist die Vermutung wahr?

Wie könnte man das beweisen? Für Polynome aus $\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]$ könnte ich das ja vielleicht noch selber, aber für Polynome aus $\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[X]\cup\overline{\mathbb{Q}}[Y])$ erstmal nicht.

Ich bin doch kein Student mehr und kein Mathematiker - wie soll ich denn das können?

Es ist für dieses Projekt hier: LinkZusammenarbeit für Beweis Unlösbarkeit elementarer Gleichungen in geschlossener Form gesucht


Vermutung:
Seien $P(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[X]\cup\overline{\mathbb{Q}}[Y])$,
$p(X)\in\overline{\mathbb{Q}}[X]$ nicht konstant,
$x,y\in\mathbb{C}$.
Wenn $\operatorname{grad}_x P(x,y)\ge\operatorname{grad}_x p(x)$, dann existiert ein $P_1(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[X]\cup\overline{\mathbb{Q}}[Y])$ mit $P(x,y)=P_1(p(x),y)$.


Ist "$x,y\in\mathbb{C}$" richtig? $x$ und $y$ sollen hier doch keine Zahlen sein, sondern Variablen.

Vielen, vielen Dank.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 19:35


2019-11-19 19:18 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ist "$x,y\in\mathbb{C}$" richtig?

Keine Ahnung. Was willst du denn damit zum Ausdruck bringen, dass du $X$ und $Y$ plötzlich klein schreibst?

--zippy




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-19 19:35


Nein, $P(X,Y)=X^3+Y$ und $p_1(X)=X^2$ ist ein Gegenbeispiel.

Und wenn $x,y$ Variablen sind, ist $x,y \in \IC$ auch falsch.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 22:13


Wieder danke.

Das scheint wohl wirklich nur für lineare $p(x)$ zu gelten.

Ah ja, wenn $x$ und $y$ Variablen sind, dann brauche ich wohl nicht angeben, woher sie kommen - ich nehme einfach die Unbestimmten $X$ und $Y$ aus den Definitionen der Polynome.

Ich habe wieder etwas gelernt und bin wieder einen Schritt weitergekommen.

Vielen, vielen Dank.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 21:13


Ich ändere meine Vermutung dahingehend ab, dass "$x,y\in\mathbb{C}$" gestrichen wird und die Variablenbezeichner $X$ und $Y$ durch $x$ bzw. $y$ ersetzt werden:


Vermutung:
Seien $P(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$,
$p(x)\in\overline{\mathbb{Q}}[x]$ nicht konstant,
Wenn $\operatorname{grad}_x P(x,y)\ge\operatorname{grad}_x p(x)$, dann existiert ein $P_1(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$ mit $P(x,y)=P_1(p(x),y)$.

1.) Wie kann man zeigen, dass das für alle linearen $p(x)$ gilt?

2.) Beweist das Folgende, dass meine Vermutung, wenn sie für Polynomfunktionen anstelle der Polynome oben formuliert wird, für alle surjektiven Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ gilt?

Aichinger, E.; Steinerberger, St.: A remark on the composition of polynomial functions over algebraically closed fields

Aichinger, E.: On function compositions that are polynomials

Wenn ja, welche Arten von Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ sind surjektiv?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-22 21:39


Hi,

2019-11-22 21:13 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ja, welche Arten von Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ sind surjektiv?

kennst du den Fundamentalsatz der Algebra?


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 21:52


2019-11-22 21:39 - Kezer in Beitrag No. 5 schreibt:
2019-11-22 21:13 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ja, welche Arten von Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ sind surjektiv?
kennst du den Fundamentalsatz der Algebra?

Ja.

Du kannst ihn in Deiner Antwort anführen.

Du kannst aber auch Anderes anführen - ich informiere mich dann darüber.

Was haben denn die Lösungen von Polynomgleichungen (Fundamentalsatz der Algebra) mit der Surjektivität von Polynomfunktionen zu tun? (Falls der Zusammenhang für Mathematik-Studenten und Mathematiker offensichtlich sein sollte - ich bin kein solcher.)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-22 23:13


2019-11-19 19:18 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ich bin doch kein Student mehr und kein Mathematiker - wie soll ich denn das können?

Hi IVmath,

ich würde auch gerne 100 m unter 12 Sekunden laufen, Herzen implantieren oder Arien singen, kann es aber leider nicht. Vielleicht sollte man das akzeptieren anstatt zu lamentieren.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 15:56


2019-11-22 23:13 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
2019-11-19 19:18 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ich bin doch kein Student mehr und kein Mathematiker - wie soll ich denn das können?
ich würde auch gerne 100 m unter 12 Sekunden laufen, Herzen implantieren oder Arien singen, kann es aber leider nicht. Vielleicht sollte man das akzeptieren anstatt zu lamentieren.

Ich lamentiere nicht. Das sind lediglich Angaben zu meinem fachlichen Hintergrund. Für diejenigen, die mich nicht aus meinen anderen Threads kennen, gebe ich das immer nochmal mit an.

Außerdem will ich damit ausdrücken, dass ich nicht unbedingt selbst die Beweise verstehen muss, sondern es mir nur darum geht, dass die Sätze korrekt und gut formuliert und bewiesen werden. Es geht um etwas Neues. Ich als Nicht-Mathematiker kann doch nur Ideengeber sein.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-23 17:38


Hallo IVmath,

wenn dich die Mathematik so sehr interessiert, dass du etwas Neues erschaffen möchtest, warum lernst du dann nicht Mathematik, zumindest erst einmal die Grundlagen. Passend wäre hier vielleicht ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra. Dort solltest du dich auch unbedingt an den Übungsaufgaben versuchen.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 17:54


2019-11-23 17:38 - StrgAltEntf in Beitrag No. 9 schreibt:
wenn dich die Mathematik so sehr interessiert, dass du etwas Neues erschaffen möchtest, warum lernst du dann nicht Mathematik, zumindest erst einmal die Grundlagen. Passend wäre hier vielleicht ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra. Dort solltest du dich auch unbedingt an den Übungsaufgaben versuchen.

Weil ich lediglich die eine Frage beantwortet haben möchte, welche Arten von Gleichungen in geschlossener Form nicht in geschlossener Form lösbar sind. Dazu konnte ich in der Literatur drei einfache mathematische Sätze finden. Es sollte die Chance genutzt und versucht werden, diese bzw. deren Methoden auf andere Klassen von Gleichungen zu erweitern.

Es wäre gut, wenn das mathematische Problem durch Mathematiker aufgegriffen und bearbeitet werden könnte.

Ein Algebra-Lehrbuch enthält viel Ballast, den ich für die Problemstellung nicht brauche. Andererseits werden für das mathematische Problem Details benötigt, die nicht in den Büchern stehen.

Ich versuche, mich mit Wissen aus Mathematik-Lexika und Fragen an die Mathematiker zu behelfen.


Es wäre schön, wenn Ihr zur Beantwortung der mathematischen Fragen beitragen könntet.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-29 18:23


2019-11-22 21:13 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
2.) Beweist das Folgende, dass meine Vermutung, wenn sie für Polynomfunktionen anstelle der Polynome oben formuliert wird, für alle surjektiven Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ gilt?

Aichinger, E.; Steinerberger, St.: A remark on the composition of polynomial functions over algebraically closed fields

Aichinger, E.: On function compositions that are polynomials

Wenn ja, welche Arten von Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ sind surjektiv?

Durch erneutes Nachfragen haben wir in LinkFür welche Arten von Polynomen ist die Polynomfunktion surjektiv? die Antwort bekommen, dass alle nicht konstanten Polynomfunktionen $p\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C},x\mapsto p(x)$ surjektiv sind - glaube ich.

Die von mir oben genannte Literatur beweist dann zumindest für Polynome $P(x)$ die Existenz von Polynomen $P_1(x)$. Wie kann man das auf Polynome $P(x,y)$ und $P_1(x,y)$ aus meiner Vermutung oben erweitern?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-30 09:45


2019-11-29 18:23 - IVmath in Beitrag No. 11 schreibt:
Die von mir oben genannte Literatur beweist dann zumindest für Polynome $P(x)$ die Existenz von Polynomen $P_1(x)$.

Hast du Triceratops' Gegenbeispiel schon wieder vergessen?

$P(x)=x^3$, $p(x)=x^2$. Wie willst du da $P_1(x)$ so wählen, dass $P_1(p(x))=P(x)$ gilt?

Und die "von dir oben genannte Literatur" hilft an dieser Stelle nicht weiter, weil dort die Existenz einer Funktion $P_1$ mit der Eigenschaft $P_1(p(x))=P(x)$ vorausgesetzt wird.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30 13:53


2019-11-30 09:45 - zippy in Beitrag No. 12 schreibt:
2019-11-29 18:23 - IVmath in Beitrag No. 11 schreibt:
Die von mir oben genannte Literatur beweist dann zumindest für Polynome $P(x)$ die Existenz von Polynomen $P_1(x)$.

Hast du Triceratops' Gegenbeispiel schon wieder vergessen?

$P(x)=x^3$, $p(x)=x^2$. Wie willst du da $P_1(x)$ so wählen, dass $P_1(p(x))=P(x)$ gilt?

Und die "von dir oben genannte Literatur" hilft an dieser Stelle nicht weiter, weil dort die Existenz einer Funktion $P_1$ mit der Eigenschaft $P_1(p(x))=P(x)$ vorausgesetzt wird.

Ah ja, *Funktion*. $p$ muss eine Funktion sein. Jetzt hab ich's verstanden.

Vielen, vielen Dank.




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-30 14:42


2019-11-30 13:53 - IVmath in Beitrag No. 13 schreibt:
Ah ja, *Funktion*. $p$ muss eine Funktion sein. Jetzt hab ich's verstanden.

Nein, du hast es leider immer noch nicht verstanden.

Um $p$ geht es überhaupt nicht. Das ist ein Polynom, und damit erst recht eine Funktion. (Da du dich nur mit unendlichen Körpern beschäftigst, brauchst du ja Polynome und Polynomfunktionen nicht zu unterscheiden.)

Worum es geht ist, ob es überhaupt eine passende Funktion $P_1$ gibt. Erst wenn das der Fall ist, fängt man in deiner Literatur an, sich Gedanken über die Frage zu machen, ob dieses $P_1$ ein Polynom ist.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30 17:58


2019-11-30 14:42 - zippy in Beitrag No. 14 schreibt:
2019-11-30 13:53 - IVmath in Beitrag No. 13 schreibt:
Ah ja, *Funktion*. $p$ muss eine Funktion sein. Jetzt hab ich's verstanden.

Nein, du hast es leider immer noch nicht verstanden.

Um $p$ geht es überhaupt nicht. Das ist ein Polynom, und damit erst recht eine Funktion. (Da du dich nur mit unendlichen Körpern beschäftigst, brauchst du ja Polynome und Polynomfunktionen nicht zu unterscheiden.)

Worum es geht ist, ob es überhaupt eine passende Funktion $P_1$ gibt. Erst wenn das der Fall ist, fängt man in deiner Literatur an, sich Gedanken über die Frage zu machen, ob dieses $P_1$ ein Polynom ist.

Ich war wieder nachlässig: in meiner Antwort hatte ich nur einen Teil der Voraussetzungen genannt. In der genannten Literatur ist in meinem Fall vorausgesetzt $p,P_1\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$.

Vielen Dank für den Zusammenhang zwischen Polynomen und Polynomfunktionen in meinem Fall. Auch das wusste ich noch nicht.

In meinem Fall gebe ich doch $P$ und $p$ vor so dass es ein $P_1$ gibt mit $P(x)=P_1(p(x))$. Der Wertebereich von $p$ ist $\mathbb{C}$, und damit ist der Definitionsbereich von $P_1$ eine Teilmenge von $\mathbb{C}$. Der Wertebereich von $P$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{C}$. Ist dann nicht jedes $P_1$ eine Funktion?
Wahrscheinlich ist nicht jedes $P_1$ über ganz $\mathbb{C}$ definiert, oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-11-30 19:04


2019-11-30 17:58 - IVmath in Beitrag No. 15 schreibt:
In meinem Fall gebe ich doch $P$ und $p$ vor so dass es ein $P_1$ gibt mit $P(x)=P_1(p(x))$.

Davon, dass du die Existenz von $P_1$ vorgibst, war bisher noch nie die Rede.

2019-11-22 21:13 - IVmath in Beitrag No. 4 schreibt:
Vermutung:
Seien $P(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$,
$p(x)\in\overline{\mathbb{Q}}[x]$ nicht konstant,
Wenn $\operatorname{grad}_x P(x,y)\ge\operatorname{grad}_x p(x)$, dann existiert ein $P_1(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$ mit $P(x,y)=P_1(p(x),y)$.

Hier gibst du $P$ und $p$ mit gewissen Eigenschaften vor und deine Vermutung ist: "dann existiert ein $P_1$ mit bestimmten Eigenschaften".

Wenn du das aber gar nicht so gemeint hast, wie du es hingeschrieben hast, solltest du deine Vermutung nochmal neu formulieren.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30 19:50


Bei meiner Problemstellung, nicht in meiner Vermutung oben, gebe ich $p$ und $P$ vor so dass $P(x)=P_1(p(x))$. Die angegebene Literatur scheint zu sagen, dass $P_1$ nicht immer ein Polynom sein muss.

Wie an anderer Stelle festgestellt, ist $P_1$ nur für lineares $p$ immer ein Polynom.

Ich möchte wissen, ob man den Polynomen $P(x)$ direkt ansehen kann, ob $P_1$ ein Polynom ist oder nicht. Aber im Allgemeinen wird das wohl nicht gehen, im Allgemeinen muss man erst ein Gleichungssystem lösen.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-11-30 20:31


2019-11-30 19:50 - IVmath in Beitrag No. 17 schreibt:
Wie an anderer Stelle festgestellt, ist $P_1$ nur für lineares $p$ immer ein Polynom.

Auch hier verwechselst du wieder etwas. Du musst zwei Fragestellungen unterscheiden:

1. Angenommen, wir haben Polynome $P$ und $p$ und es gibt eine Funktion $P_1$ mit $P_1(p(x))=P(x)$. Ist dann $P_1$ ein Polynom?

2. Angenommen, wir haben Polynome $P$ und $p$. Gibt es dann ein Polynom $P_1$ mit $P_1(p(x))=P(x)$?

"$p$ ist linear" ist eine hinreichende Bedingung, um die 2. Frage mit "ja" zu beantworten.

"$p$ ist surjektiv" (was über $\mathbb C$ dasselbe bedeutet wie "$p$ ist nicht konstant") ist eine hinreichende Bedingung, um die 1. Frage mit "ja" zu beantworten.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-11-30 21:58


Du hast abgehakt... Also scheinst du die Unklarheiten nicht wirklich aus dem Weg räumen zu wollen.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30 22:26


2019-11-30 21:58 - zippy in Beitrag No. 19 schreibt:
Du hast abgehakt... Also scheinst du die Unklarheiten nicht wirklich aus dem Weg räumen zu wollen.
Du hast nochmal geantwortet, also scheinst Du Dich noch weiter darüber unterhalten zu wollen.

Der Unterschied zwischen einem Polynom und einer Polynomfunktion ist mir klar. Bei meiner übergeordneten Problemstellung sind meine Polynome aber Funktionsterme von Polynomfunktionen. Deshalb ist mir dort der Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen nicht klar.

Für meine Problemstellung muss ich das nicht weiter geklärt haben - ich muss mich damit abfinden, dass die $P_1$ bei mir zwar Funktionen sind, nicht aber immer Polynome.

1.)
Da die $P_1$ bei mir Funktionen sind, vermute ich die Ursache dafür, dass laut der angegebenen Literatur $P_1$ nicht immer ein Polynom ist darin, dass es mitunter kein Polynom $P_1$ mit dem zu $P$ passenden Wertebereich gibt.

2.)
Erfahrungsgemäß geht es am schnellsten, wenn man die Fragen des Lernenden beantwortet:
2019-11-30 17:58 - IVmath in Beitrag No. 15 schreibt:
In meinem Fall gebe ich doch $P$ und $p$ vor so dass es ein $P_1$ gibt mit $P(x)=P_1(p(x))$. Der Wertebereich von $p$ ist $\mathbb{C}$, und damit ist der Definitionsbereich von $P_1$ eine Teilmenge von $\mathbb{C}$. Der Wertebereich von $P$ ist eine Teilmenge von $\mathbb{C}$. Ist dann nicht jedes $P_1$ eine Funktion?
Wahrscheinlich ist nicht jedes $P_1$ über ganz $\mathbb{C}$ definiert, oder?

3.)
Bei mir geht es um Polynomgleichungen $P_1(p(x),y)=0$, $x$ und $y$ sind komplexe Variablen, $p(x)$ ist ein Polynom. Was sind $P_1(x_1,y)$ bzw. $P_1$? Ein Polynom? Eine Polynomfunktion?



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xiao_shi_tou_
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Hi IVmath.
Du hast gefragt welche Polynomfunktionen $p\colon \C\to \C$ surjektiv sind.
Der Hinweis von Kezer war den Fundamentalsatz der Algebra anzuwenden.

Man kann diesen direkt auf Wikipedia nachschlagen:

"Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein"

Nehmen wir also mal an, dass dieser Satz stimmt, ohne uns an einem Beweis aufzuhalten.

Sei nun $p\colon \C\to \C$ eine Polynomfunktion die durch ein Polynom $p(X)\in \C[X]$ gegeben ist. Was bedeutet es, dass $p$ surjektiv ist?
Das bedeutet dass es zu jedem $z\in \C$ ein $z'\in\C$ gibt mit $z=p(z')$.


Es ist offensichtlich, dass eine konstante Funktion nicht surjektiv sein kann, denn eine konstante Funktion kann nur einen Wert annehmen, aber eine surjektive Funktion muss jede Komplexe Zahl als Wert annehmen!
Nehmen wir also an, dass $p$ nicht konstant ist.
Dann ist insbesondere das Polynom auch nicht konstant.

Damit man den Fundamentalsatz der Algebra anwenden kann muss man erstmal die Aussage $z=p(z')$ etwas umformulieren, damit man eine Aussage über die Existenz von Nullstellen hat. (Verknüpfe immer das Gegebene mit dem Gesuchten.)
Die Aussage $z=p(z')$ ist äquivalent zu $p(z')-z=0$.
Das bedeutet, dass das Polynom $f(X)=p(X)-z$ genau dann eine Nullstelle besitzt, wenn es ein $z'\in\C$ gibt mit $p(z')=z$ gibt.

Wenden wir nun den Fundamentalsatz der Algebra an:
Wenn die Polynomfunktion $p$ durch ein nicht konstantes Polynom $p(X)$ gegeben ist, dann ist die Funktion $p$ surjektiv, da es nach dem Fundamentalsatz der Algebra, für jede komplexe Zahl $z$ eine Nullstelle des nicht konstanten Polynoms $p(X)-z$ in $\C$ gibt.
Nimmt man umgekehrt an, dass eine Polynomfunktion surjektiv ist, dann ist sie insbesondere nicht konstant.
Wir haben also bewiesen, dass eine Polynomfunktion $p\colon \C\to \C$ genau dann surjektiv ist, wenn sie nicht konstant ist.

Ein paar ehrlich gemeinte Worte
Wie in jeder anderen Disziplin ist es auch (vor allem!) in der Mathematik unmöglich eine schwierige Aufgabe zu lösen, wenn man nicht einmal die Grundlagen nicht kennt.

Noch kein Mensch ist vom Himmel gefallen und konnte auf Anhieb Beethovens Sonaten spielen und noch kein Mensch konnte auf Anhieb eine Fremdsprache sprechen und noch kein Mensch ist als Profi Fußballer vom Himmel gefallen.

Im Gegenteil: Von allen Experten und Menschen die ich persönlich kenne die etwas geschafft haben, was andere nicht geschafft haben weiß ich, dass das mitunter wesentlich daran lag, dass sie die Grundlagen ihrer Disziplin sehr viel besser kannten als ich zum Beispiel (das gebe ich gerne und offen zu) oder als der Großteil aller Mitstreiter auf ihrem Gebiet und, dass sie ein starkes Interesse für die Tätigkeit mitbrachten.

Bei dir kann man weder Interesse für die Mathematik als ganzes noch für die Grundlagen erkennen.

Das ist meiner Einschätzung nach wohl der Hauptgrund, dass man dir hier nicht mehr so viel antwortet. Sobald du echtes Interesse und bereit bist dich in die Materie einzuarbeiten wird man dir hier sicher gerne dabei helfen. Wenn du aber weiterhin nur eine Vermutung beweisen willst und sonst nichts mit der Mathematik zu tun haben willst, dann wird sich wahrscheinlich kaum jemand für dein Projekt begeistern lassen.

Viele Grüße
XST


 




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”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
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