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Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalteiler mit zweitem Isomorphiesatz
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Universität/Hochschule Normalteiler mit zweitem Isomorphiesatz
Mari61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-19


Schönen Abend zusammen,

ich hänge an folgender Aufgabe:

sei n>=1. Zeigen Sie N={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} ist ein Normalteiler in S4 und S4/N isomorph zu S3.
Hinweis: Benutzen Sie den 2. Isomorphiesatz

Der 2. Isomorphiesatz ist in unserem Skript folgendermaßen def:

Sei G eine Gruppe, H Teilmenge G eine Untergruppe und N Teilmenge G ein Normalteiler. Dann gibt es einen Isomorphismus H/(H UND N)->~(HN)/N
der die Nebenklasse von h elem H auf hN abbil

Um die Nebenklasse zu zeigen, beweise ich ja das es sich um eine Untergruppe handelt d.h. die Untergruppenaxiome. Das ist kein probl soweit würde ich die Aufgabe hinbekommen. Die Schwierigkeit besteht darin den Isomorphiesatz anzuwenden, da ich dessen Sinn nichtmal ganz verstehe



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19


Sei $H = \{\sigma \in S_4 : \sigma(4)=4\}$. Das ist eine zu $S_3$ isomorphe Untergruppe von $S_4$. Es gilt $HN = S_4$ (warum?) und $H \cap N = \{1\}$. Jetzt ist der Isomorphiesatz anwendbar.



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Mari61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Ich verstehe nicht ganz was du gemacht hast ?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19


Bitte setze dich erst einmal eine Weile mit diesem Hinweis auseinander. Stelle danach eine konkrete Frage. Am Ende musst du den Beweis ja selbst erbringen. Ich habe nur den groben Fahrplan beschrieben.



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Mari61
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19


Was mir mittlerweile klar geworden ist:

die Symmetriegruppe S3 ist vierfach in S4 enthalten. Zudem liefert mir ein Satz aus dem Skript, dass jede endlich n elementige Gruppe isomorph zu einer Untergruppe von Sn ist

S4 enthält 24 Elemente. Eine dazu isomorphe Untergruppe hast du mir bereits gegeben: H




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Bai
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-20


2019-11-19 23:18 - Mari61 in Beitrag No. 4 schreibt:
Was mir mittlerweile klar geworden ist:

die Symmetriegruppe S3 ist vierfach in S4 enthalten. Zudem liefert mir ein Satz aus dem Skript, dass jede endlich n elementige Gruppe isomorph zu einer Untergruppe von Sn ist

S4 enthält 24 Elemente. Eine dazu isomorphe Untergruppe hast du mir bereits gegeben: H



Hi,

der erste Absatz ist nicht sonderlich hilfreich. Den zweiten Absatz verstehe ich nicht. In Beitrag 1 steht, dass \(H\cong S_3\) und nicht \(H\cong S_4\). Dort steht auch schon eigentlich die vollständige Lösung, du musst nur den Zwischenschritt \(HN=S_4\) ergänzen. Eine Ordnungsbetrachtung könnte hier hilfreich sein.



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