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Funktionentheorie » Integration » Anwendung der Cauchyschen Integralformel
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Universität/Hochschule J Anwendung der Cauchyschen Integralformel
Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-20


Ich sitze gerade an einer Aufgabe, wo ich ein Wegintegral berechnen soll. Dafür wollte ich eigentlich die Cauchysche Integralformel verwenden. Ich bin mir nicht sicher, ob man diese Formel auch für geschlossene aber nicht einfache Kurven verwenden darf.Die Kurve über die integriert wird, hat Doppelpunkte. Ist das ein Problem ?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-20

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Hallo Pter87,

in diesem Fall muss man die Integralformel erweitern:

\[\operatorname{W}_\gamma(z)f(z)=\frac{1}{2\pi\i}\int_\gamma\frac{f(w)}{w-z}\d w\]
mit der Windungszahl der Kurve $\gamma$ um $z$:

\[\operatorname{W}_\gamma(z):=\frac{1}{2\pi\i}\int_\gamma\frac{1}{z-w}\d w.\]
Die Windungszahl gibt im Endeffektnur an, wie oft die Kurve um $z$ herumläuft. Wenn sie häufiger drumrumläuft, dann ist das Integral entsprechend ein $\operatorname{W}_\gamma(z)$-faches Vielfaches von $f(z)$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Pter87
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-21


Muss ich unbedingt diese Formel benutzen, wenn die Windungszahl "sichtbar" ist. Wenn ich z.B. einen weg c von (0 <= t <= 1) nach e^(8*pi*i*t) habe, dann sehe ich ja sofort, dass der Kreis 4 mal umlaufen wird.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-21


Das hängt ganz von deinem Prof/Tutor ab. Bei so einfachen Kurven wie ein mehrfach durchlaufener Kreis werden das die meisten wohl nicht beanstanden, wenn du sagst, die Windungszahl sei offensichtlich. Mit der Formel wäre das aber ja auch schnell ausgerechnet.



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