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Mathematik » Numerik & Optimierung » Moore-Penrose-Inverse eines Spaltenvektors bestimmen
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Universität/Hochschule Moore-Penrose-Inverse eines Spaltenvektors bestimmen
katharinax3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-22 12:01


Hallo,

auf einem Aufgabenblatt in Numerische Lineare Algebra haben wir die Aufgabe gestellt bekommen, zu einem beliebigen Spaltenvektor $u \in \mathbb{R}^m$, $u \neq 0$ die Pseudoinverse zu bestimmen.

Ich hatte die Formel
\[u^+ = \frac{1}{u^t u}u^t\] dazu schon einmal auf Wikipedia gesehen, von daher war der Ansatz, da die Pseudoinverse mit den in der Vorlesung gegebenen Eigenschaften ja eindeutig ist, eben diese Eigenschaften nachzuprüfen. Kein Problem.

Meine Frage ist jedoch: Wie leitet man diese Formel für $u^+$ her?
Mein erster Ansatz war es, die Singulärwertzerlegung zu bestimmen. Ich habe jedoch absolut keine Idee, wie ich die Eigenwerte von $B = u^tu$ bestimmen soll. Gibt es da einen Trick?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22 12:28


Hallo,

Wenn $u$ ein Spaltenvektor ist, so ist $u^tu$ eine $1\times 1$ Matrix mit dem Eigenwert ...

Für $u\neq 0$ hat $uu^t$ den Rang 1. Außerdem ist die Matrix symmetrisch. Das bedeutet, dass du nur einen Eigenvektor finden musst. Welcher könnte das sein?



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katharinax3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 00:35


Hallo,

erstmal Danke für deine Antwort.

Da $u^tu$ die 1x1-Matrix mit dem Skalarprodukt $\left<u,u\right>$ als einziges Element ist, sollte der Eigenwert doch $\left<u,u\right> = \lVert u \rVert^2$ sein, zum Eigenvektor $\left[1\right]$, korrekt?

Bei $uu^t$ kann ich nun zwar nachvollziehen wieso die resultierende Matrix symmetrisch ist und den Rang 1 hat, beim Eigenwert komme ich leider noch nicht weiter :(

Liebe Grüße,
Katharina



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-23 09:53


Fang mit den Eigenvektoren zu Null an. Da der Rang von $uu^t$ Eins ist, ist die algebraische Vielfachheit von Null gleich $n-1$. Weiter ist die Matrix symmetrisch und somit diagonalisierbar. Also hat der Eigenraum von Null die Dimension $n-1$. Sei $A=uu^t$, so gilt
\[Ax=\langle u,x\rangle u\] für alle $x\in\mathbb{R}^n$. Wann ist $Ax=0$?



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