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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Antisymmetrischer Tensor
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Universität/Hochschule J Antisymmetrischer Tensor
Goldie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-22 14:51


Hallo zusammen, ich habe eine Gleichung im Skript stehen bei der ich absolut nicht weiter komme. Und zwar geht es um antisymmetrische Tensoren und Aufteilung in einen symmetrischen und antisymmetrischen Teil.

ok also es ist: \(T^c_{ab} = -T^c_{ba}\) das ist ja antisymmetrisch in den unteren Indices. Und dann haben wir: \(T^c_{ab} = M^{cd} \epsilon_{dab} + \delta^c_{[a}A_{b]} \)

wobei

\(\delta^c_{[a}A_{b]} = \frac{1}{2}(\delta^c_aA_b - \delta^c_bA_a)\) und \(\epsilon_{dab}\) ist threeform? auf der Lie Algebra (ich vermute damit ist das Levi-Civita Symbol gemeint).
Hier ist \(M^{cd}=M^{dc}\) also symmetrisch und \(A_a\) Dualvektor.

Soweit weiß ich, dass jeder Tensor aufgeteilt werden kann in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil. Den antisymmetrischen Teil kann ich dann nochmal schreiben in einem Ausruck mit einem Vektor (manchmal Dualvektor genannt, vgl hier, Seite 13). Allerdings gilt das ja nur für einen Tensor rank 2. Aber hier haben wir ja einen (1,2) Tensor, aber antiymmetrisch in den beiden unteren Indices.. ich vermute dass es irgendwie so zusammenhängt aber ich komm einfach nicht weiter  :-?

Bin dankbar für jede Hilfe!



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22 22:17


Du gehst hier in zwei Schritten vor.

1. Betrachte $c$ als Parameter. Für festes $c$ ist erlaubt die Asymmetrie von $T^c_{ab}$ in $a$ und $b$ eine Darstellung mit einem – von $c$ abhängigen – dualen Vektor:$$
T^c_{ab} = D^{cd}\,\epsilon_{dab}
$$(Für $D^{cd}$ ist $d$ der "Vektorindex" und $c$ der festgehaltene Parameter.)

2. Jetzt kann man $D^{cd}$ als Tensor zweiter Stufe betrachten und in einen symmetrischen Teil $M^{cd}$ und einen antisymmetrischen Teil $N^{cd}$ zerlegen. Letzteren kann man dann mit einen dualen Vektor als$$
N^{cd} = R_e\,\epsilon^{ecd}
$$darstellen, so dass sich insgesamt$$\begin{align*}
T^c_{ab} &= D^{cd}\,\epsilon_{dab} \\[1.5ex]
&= M^{cd}\,\epsilon_{dab} + N^{cd}\,\epsilon_{dab} \\[1.5ex]
&= M^{cd}\,\epsilon_{dab} + R_e\,\epsilon^{ecd}\,\epsilon_{dab} \\[1.5ex]
&= M^{cd}\,\epsilon_{dab} +
  R_e\,\bigl(\delta^e_a\,\delta^c_b - \delta^e_b\,\delta^c_a \bigr)
  \\[1.5ex]
&= M^{cd}\,\epsilon_{dab} +
  \bigl(R_a\,\delta^c_b - R_b\,\delta^c_a \bigr)\\[1.5ex]
&= M^{cd}\,\epsilon_{dab} +
  2\,R_{[a}^{\vphantom a}\,\delta^c_{b]}
\end{align*}$$ergibt, und das ist ja mit $A:=-2R$ deine Formel.

--zippy



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Goldie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 22:46


Vielen Dank zippy! Ich hatte vermutet dass es in die Richtung geht, aber könntest du mir den ersten Schritt nochmal schnell erklären? Oder gibt es ein Skript/Buch, das du empfehlen kannst zu dem Thema? Habe Tensoren in Diffgeo kennen gelernt über Transformationsverhalten, zu Antisymmetrie hab ich bisher noch nichts gesehen außer die Definition..



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-22 23:16


2019-11-22 22:46 - Goldie in Beitrag No. 2 schreibt:
aber könntest du mir den ersten Schritt nochmal schnell erklären?

Was ist dir denn daran unklar?



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Goldie
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 23:37


na ja, also wir fangen an mit \(T^c_{ab}\) ein (1,2) Tensor. Und jetzt sagst du, dass wir c als Parameter betrachten, also quasi T nur als einen antisymmetrischen (0,2) Tensor und dann wenden wir den Satz an, der uns die Darstellung mit einem sogenannten Dualvektor erlaubt. Aber weil wir ja noch dieses c haben, haben wir dann nicht nur einen Vektor (1,0) sondern einen (2,0) Tensor?

In Schritt 2 teilen wir diesen dann wieder auf und kommen nach der Rechnung auf die gewünschte Darstellung.

Ist das so korrekt?

Ich glaube, es hakt vor allem daran, warum wir Schritt 1 so machen dürfen und wie genau dieser Dualvektor für Tensoren definiert ist (für Tensoren beliebiger Stufe).. finde leider, online zumindest, nicht wirklich was darüber



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-23 00:00


2019-11-22 23:37 - Goldie in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber weil wir ja noch dieses c haben, haben wir dann nicht nur einen Vektor (1,0) sondern einen (2,0) Tensor?

Genau: Für jeden Wert von $c$ haben wir einen Vektor mit einem Index $d$, und wir diese drei Vektoren mit $c$ als weiterem Index durchnummerieren, kommen wir insgesamt zu einem Tensor mit den zwei Indizes $c$ und $d$.

2019-11-22 23:37 - Goldie in Beitrag No. 4 schreibt:
Ist das so korrekt?

Ja.

2019-11-22 23:37 - Goldie in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich glaube, es hakt vor allem daran, warum wir Schritt 1 so machen dürfen

Sobald du den Index $c$ auf einen festen Wert setzt, bist du doch bei einer Situation angekommen, in der du den dir bekannten Satz anwenden kannst. Warum solltest du das nicht "dürfen"?

2019-11-22 23:37 - Goldie in Beitrag No. 4 schreibt:
und wie genau dieser Dualvektor für Tensoren definiert ist (für Tensoren beliebiger Stufe)..

Eine Verallgemeinerung des dualen Vektors auf antisymmetrische Tensoren höherer Stufe ist der Hodge-Operator. Der wäre aber nur für einen antisymmetrischen Tensor $T_{abc}$ interessant und hilft bei deinem $T_{ab}^c$ nicht weiter.



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Goldie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 12:20


Hab das so noch nie gesehen, muss mich wohl noch mehr mit dem Thema beschäftigen. Vielen vielen Dank für deine Hilfe!



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Goldie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Goldie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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