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Strukturen und Algebra » Polynome » euklidischer Algorithmus mit Polynomen- Polynomdivision
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Autor
Universität/Hochschule J euklidischer Algorithmus mit Polynomen- Polynomdivision
meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-11-28


Hi, folgende Aufgabe habe ich eben gerechnet. Ich soll den ggT von zwei Funktionen bestimmen. Vorher habe ich diese in einen Rechner eingegeben, um herauszufinden was als ggT herauskommt um so meine Lösung zu kontrollieren. Der ggT: 1+x
Nun habe ich dieses Ergebnis aber nicht in meiner Rechnung raus. Sieht jemand den Fehler? Ich weiß nicht, ob ich gerade einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe :D



LG :)



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-28


Hallo,

deine erste Poylnomdivision sollte korrekt sein.
Danach gehst du aber nicht korrekt weiter vor.

Du müsstest nun

$(3x^3+4x^2+x)\div (-\frac53x^2+\frac13x+2)$ berechnen und analog fortfahren.

Daher wenn du hier nun einen weiteren Rest erhältst, dann

$(-\frac53x^2+\frac13x+2)\div \text{Rest}$

Bis du zum Ende kommst.



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-28


man kann bei der Polynomdivision auch einfacher vorgehen, in dem man die Potenzen von x weglässt und die Koeffizienten im Positionssystem schreibt, siehe hier.


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


2019-11-28 19:08 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

deine erste Poylnomdivision sollte korrekt sein.
Danach gehst du aber nicht korrekt weiter vor.

Du müsstest nun

$(3x^3+4x^2+x)\div (-\frac53x^2+\frac13x+2)$ berechnen und analog fortfahren.

Daher wenn du hier nun einen weiteren Rest erhältst, dann

$(-\frac53x^2+\frac13x+2)\div \text{Rest}$

Bis du zum Ende kommst.

ahh vielen Dank!! Das ist mir gar nicht aufgefallen...
Leider bekomme ich mit dem richtigen Weg auch auf ein falsches Ergebnis... Ich lade es hier mal hoch vielleicht fällt euch ja direkt auf was ich falsch gemacht habe?




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-30


[Edit: Ich wurde darauf hingewiesen, dass du dein Zählerpolynom abgeändert hast. Das im Themenstart lautet: $3x^5+4x^4+3x^3+x^2+\color{red}{x}+2$

Die Antwort bezieht sich auf deine Rechnung oben. Ich bin mir sicher, dass du die Aufgabe mit dem richtigen Polynom ohne Umstände lösen kannst.
Ein wenig ärgerlich, da du dir ja große Mühe damit gegeben hast, aber man sieht ja, dass du das Prinzip anwenden kannst.

]

Mit welchem online Rechner hast du dein Ergebnis überprüft?

Es könnte sein, dass dort Rundungsfehler gemacht wurden.
Denn die enstehenden Brüche am Ende, sind ja relativ nah beieinander.

Wolframalpha sagt, dass die Polynome teilerfremd sind. Daher

$\operatorname{ggT}(3x^5+4x^4+3x^3+x^2+2, 3x^3+4x^2+x)=1$

Wenn man die Polynome faktorisiert, sieht man auch, dass sie keinen gemeinsamen Teiler haben.

Dies habe ich auch mit Wolframalpha gemacht, denn das Polynom

$3x^5+4x^4+3x^3+x^2+2$ hat nur eine reelle Nullstelle, die sich nicht mit üblichen Methoden finden lässt und vier komplexe. Ist daher sehr schwer zu faktorisieren.
Das andere Polynom ist hingegen sehr einfach.

Ich glaube dein Rechenweg sollte korrekt und fehlerfrei sein.
Du kannst das aber auch online überprüfen.

Ist die Aufgabe so korrekt abgeschrieben?
Es wundert mich, dass die Rechnung so ausartet und man kein befriedigendes Ergebnis erhält.





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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-30


Hallo

Das sollte richtig sein, aber es wäre besser, wenn du das Endergebnis auch als Brüche angibst.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


2019-11-30 12:14 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
[Edit: Ich wurde darauf hingewiesen, dass du dein Zählerpolynom abgeändert hast. Das im Themenstart lautet: $3x^5+4x^4+3x^3+x^2+\color{red}{x}+2$

Die Antwort bezieht sich auf deine Rechnung oben. Ich bin mir sicher, dass du die Aufgabe mit dem richtigen Polynom ohne Umstände lösen kannst.
Ein wenig ärgerlich, da du dir ja große Mühe damit gegeben hast, aber man sieht ja, dass du das Prinzip anwenden kannst.

]

Mit welchem online Rechner hast du dein Ergebnis überprüft?

Es könnte sein, dass dort Rundungsfehler gemacht wurden.
Denn die enstehenden Brüche am Ende, sind ja relativ nah beieinander.

Wolframalpha sagt, dass die Polynome teilerfremd sind. Daher

$\operatorname{ggT}(3x^5+4x^4+3x^3+x^2+2, 3x^3+4x^2+x)=1$

Wenn man die Polynome faktorisiert, sieht man auch, dass sie keinen gemeinsamen Teiler haben.

Dies habe ich auch mit Wolframalpha gemacht, denn das Polynom

$3x^5+4x^4+3x^3+x^2+2$ hat nur eine reelle Nullstelle, die sich nicht mit üblichen Methoden finden lässt und vier komplexe. Ist daher sehr schwer zu faktorisieren.
Das andere Polynom ist hingegen sehr einfach.

Ich glaube dein Rechenweg sollte korrekt und fehlerfrei sein.
Du kannst das aber auch online überprüfen.

Ist die Aufgabe so korrekt abgeschrieben?
Es wundert mich, dass die Rechnung so ausartet und man kein befriedigendes Ergebnis erhält.




Ich habe mir nochmal die Aufgabe angeschaut und habe überlesen, dass ich die Rechnung im fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
durchführen muss.. eek  Dann werde ich die nochmal machen. Dort rechne ich dann mit modulo 5 einfach oder?
Aber ist schonmal beruhigend, dass die Rechnung ansonsten richtig war, ich dachte schon ich hätte polynomdivision einfach falsch verstanden biggrin



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-30


Wenn du in $\mathbb{Z}_5[x]$ bist, funktioniert alles genauso.

Wenn du mit den richtigen Polynonmen gerechnet hättest, dann hättest du jetzt das Endergebnis nehmen können, und dieses mod 5 reduzieren können und wärst ebenfalls fertig.

Natürlich vereinfacht es die Sache, weil die Zahlen nicht so groß werden, bzw. keine Brüche auftauchen.

Die Schwierigkeit ist es vielleicht sich jeweils die Inversen zu überlegen.

Es ist vielleicht nicht unmittelbar klar, was etwa $3^{-1}$ im Körper $\mathbb{Z}_5$ ist.

Die Inversen kannst du etwa durch ausprobieren finden.

Als Beispiel:

Wenn wir $3^{-1}$ finden wollen, müssen wir ja die Zahl suchen, die mit drei multipliziert den Rest 1 lässt, wenn wir mod 5 reduzieren.

Es gibt aber nur 4 Zahlen, die überhaupt zu testen sind, daher ist das schnell gemacht.

$3\cdot 1=1\mod 5$

$3\cdot 2=6=1\mod 5$

$3\cdot 3=9=4\mod 5$

$3\cdot 4=12=2\mod 5$

In $\mathbb{Z}_5$ gilt also $3^{-1}=2$.




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meloniton
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-30


2019-11-30 12:56 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn du in $\mathbb{Z}_5[x]$ bist, funktioniert alles genauso.

Wenn du mit den richtigen Polynonmen gerechnet hättest, dann hättest du jetzt das Endergebnis nehmen können, und dieses mod 5 reduzieren können und wärst ebenfalls fertig.

Natürlich vereinfacht es die Sache, weil die Zahlen nicht so groß werden, bzw. keine Brüche auftauchen.

Die Schwierigkeit ist es vielleicht sich jeweils die Inversen zu überlegen.

Es ist vielleicht nicht unmittelbar klar, was etwa $3^{-1}$ im Körper $\mathbb{Z}_5$ ist.

Die Inversen kannst du etwa durch ausprobieren finden.

Als Beispiel:

Wenn wir $3^{-1}$ finden wollen, müssen wir ja die Zahl suchen, die mit drei multipliziert den Rest 1 lässt, wenn wir mod 5 reduzieren.

Es gibt aber nur 4 Zahlen, die überhaupt zu testen sind, daher ist das schnell gemacht.

$3\cdot 1=1\mod 5$

$3\cdot 2=6=1\mod 5$

$3\cdot 3=9=4\mod 5$

$3\cdot 4=12=2\mod 5$

In $\mathbb{Z}_5$ gilt also $3^{-1}=2$.



Hey, ich habe doch aber mit den richtigen Polynomen gerechnet. Also kann ich modulo5 nun einfach auf das Ergebnis anwenden und bin fertig? Mich verwirrt der zweite Teil deines Beitrages etwas. Wozu brauche ich denn die Inversen, also z.B. fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
 confused LG meloniton



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-11-30



ich habe doch aber mit den richtigen Polynomen gerechnet.

In Beitrag 5 nicht.
Oder reden wir aneinander vorbei?


Mich verwirrt der zweite Teil deines Beitrages etwas. Wozu brauche ich denn die Inversen

$(3x^5+4x^4+3x^3+x^2+x+2)\div (3x^3+4x^2+x)=x^2+\frac23+\operatorname{Rest}$

gilt es unter anderem zu berechnen.
Jetzt ist aber gar nicht klar, was $\frac23=2\cdot 3^{-1}$ überhaupt in $\mathbb{Z}_5$ bedeutet. Für so etwas benötigst du unter anderem die Inversen.

Du teilst hier ja immer durch $3x^3$ in $\mathbb{Z}_5$.



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