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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unkorreliertheit und Unabhängigkeit bei uniform verteilten Punkten
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Universität/Hochschule Unkorreliertheit und Unabhängigkeit bei uniform verteilten Punkten
Niffty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-03


($X_1$, $X_2$) ist das Koordinatenpaar eines auf S $\subset$ ${\mathbb{R}}^2$ uniform verteilten Punktes. Sind $X_1$ und $X_2$

(i) unkorreliert

(ii) unabhängig

für


a) S := [1,1] x [0,1]

b)S:= ([−1,0]×[−1,0])∪([0,1]×[0,1]),

c)S:={($a_1$, $a_2$) :${a_1}^2$ +${a_2}^2$ ≤ 1, ${a_1}$ ≥  0}

Ansatz: Durch Internetrecherche bin ich auf folgende Formel gekommen,

$f(x_1,x_2)dx_1dx_2=f(x_1)dx_1f(x_2)dx_2$ , wobei

$X_1$ die Dichte $f(x_1)dx_1=\frac{1}{1-(-1)}dx_1=\frac{1}{2}dx_1$ hat und $X_2$ die Dichte $f(x_2)dx_2\frac{1}{1-0}dx_2=dx_2.$

$f_{X_1} = \int_\mathbb{R} f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) \, dx_2 = \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{[-1, 1] \times [0, 1]}(x_1, x_2) \, \cdot \frac{1}{2} \, dx_2 = \mathbf{1}_{[-1, 1]} \cdot  \frac{1}{2} \int_0^1 \, dx_2 = \mathbf{1}_{[-1, 1]} \cdot  \frac{1}{2}$

Allerdings verseh ich nicht ganz, wie das in Zusammenhang mit Unkorreliertheit und Unabhängigkeit steht. Warum taucht in der Rechnung $\frac{1}{2} \, dx_2$ auf aber nicht 1 $X_1$. Muss man das Gleiche dann für f($X_2$) berechnen und checken ob dasselbe herauskommt?

Danke und LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-03


Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten!

Was möchtest du eigentlich ausrechnen, das wird in deinem Beitrag nirgends klar?

Könntest du daher bitte den kompletten Originaltext der fraglichen Aufgabe hier wiedergebeben, zusammen mit deinen Überlegungen?

Deine bisherigen Anfragen hier sind alle an dem gleichen Problem gescheitert: man versteht dein Anliegen jeweils nicht.


Gruß, Diophant



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Niffty
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


Hallo Diophant,

Die Aufgabenstellung ist bereits vollständig. Alles was ich bis zum Punkt "Ansatz" geschrieben habe, ist die komplette Aufgabenstellung im Wortlaut:
----------------------------------------------------------------------
($X_1$, $X_2$) ist das Koordinatenpaar eines auf S $\subset$ ${\mathbb{R}}^2$ uniform verteilten Punktes. Sind $X_1$ und $X_2$

(i) unkorreliert

(ii) unabhängig

für


a) S := [1,1] x [0,1]

b)S:= ([−1,0]×[−1,0])∪([0,1]×[0,1]),

c)S:={($a_1$, $a_2$) :${a_1}^2$ +${a_2}^2$ ≤ 1, ${a_1}$ ≥  0} ?
------------------------------------------------------------------------

Mehr wurde uns nicht gegeben. Man soll also für die drei S-Funktionen jeweils checken, ob $X_1$ und $X_2$ unkorreliert und/oder unabänging sind.

Was ich nicht verstehe:
Unkoreliertheit besteht ja normalerweise, wenn Cov [X,Y] = 0 gilt. Aber was genau ist hier [X,Y]? Alle kombinationen aus [-1,1] x [0,1]. Wenn ja, dann gilt ja nur in bestimmten Fällen Cov [X,Y] = 0?

Unabhängig gilt, wenn füralle Ereignisse {X1 ∈ A1},{X2 ∈ A2} gilt.

P(X1 ∈ A1,X2 ∈ A2)=P(X1 ∈ A1)P(X2 ∈ A2)

Auch hier ist mir nicht klar, wie man das auf S:= [-1,1] x [0,1] und die folgenden Teilaufgaben übertragen kann.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-03


Hallo,

da steht nirgends etwas, was zu tun ist. Dann wäre es an dir, uns zu sagen, was du tun möchtest.


Gruß, Diophant



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Niffty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


Ja, der Übungsgruppenleiter ist ein wenig dafür berühmt-berüchtigt, dass die Aufgabenstellungen etwas diffus sind.

Ich schätze man soll für drei S-Funktionen aus a), b) und) c jeweils überprüfen ob X1 und X2 unkorreliert und/oder unabänging sind.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-03


Die Aufgabe ist schon klar, wenn man an passender Stelle ein Fragezeichen einfügt. Es ist zu prüfen, ob die Zufallsgrößen X1 und X2 in den drei Beispielen unkorrelliert bzw. unabhängig sind.

Bevor Du Dich in Formalismen stürzt, zwei Fragen vorweg:
Ist Dir der Zusammenhang zwischen beiden Begriffen klar?
Hast Du eine intuitive Vorstellung, was die beiden Begriffe bedeuten?

Meiner Meinung nach muss man die richtigen Antworten bei dieser Aufgabe allein durch "Draufschauen" finden können, da man sich eine Gleichverteilung ganz gut vorstellen kann.

Aufgaben:
- Zeichne die Gebiete auf!
- Wie sehen (ungefähr) die Randverteilungen aus? Welche Werte können X1 und X2 annehmen?
- Wenn Du ein rechteckiges Gebiet in das Diagramm einzeichnest und mit den jeweiligen Mengen S schneidest, kannst Du dann den Flächeninhalt dieses Schnittes (der aufgrund der Gleichverteilung proportional zur Wsk. ist) allein aus dem Produkt der entsprechenden Randverteilungen von X1 und X2 bestimmen?
- Gib (wenn vorhanden) Beispiele an, bei denen das nicht möglich ist.

Auf die Weise kannst Du alle Fälle bestimmen, in denen die Zufallsgrößen nicht unabhängig sind.

- Wenn Du den Wert von X1 kennst, hat das Einfluss auf eine Schätzung des Mittelwertes von X2? Gibt es keinen Einfluss, dann sind die Größen unkorreliert. Bei welchen Beispielen ist das der Fall, bei welchen nicht?

Mit Rechnen sollte man m.E. erst anfangen, wenn man sich schon relativ sicher ist, wie das Ergebnis aussehen wird. Andernfalls ist man Rechenfehlern gnadenlos ausgeliefert.

PS: Kleiner Tipp: Die drei Beispiele decken das Spektrum der Möglichkeiten relativ gut ab.



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Niffty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-04


Danke für die Antwort,

mir ist nich' ganz klar, wie ich es durch zeichenn lösen soll. Zäumen wir das Pferd mal von vorn auf... S:= [-1,1] x [0,1]. Was ist [-1,1] x [0,1]. Die Schnittmenge vom Intervall [-1,1] und [0,1], also schlicht und ergreifend das Interval [0,1] ?



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-04


Wenn Dir schon die Schreibweise nicht klar ist, dann solltest Du explizit nachfragen.

Es geht hier einfach gesagt um Punkte in einer Ebene mit x- und y-Koordinaten. x soll aus dem Intervall [-1, 1] sein und y aus [0, 1].


Allgemein ist $A\times B:=\{(a,b):a\in A, b\in B\}$, also die Menge aller geordneter 2-Tupel $(a,b)$, bei denen $a$ aus $A$ und $b$ aus $B$ kommt.



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Niffty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-04


Ok danke.

Uns wurde heute noch als Hinwesi gesagt, dass wenn man sich im 1. und 3. Quadranten bewegt,die Kovarianz positiv ist. Und im 2 und 4. Quadrant entsprechend negativ.

Nun würden wir un sbei S := [-1,1] x [0,1] ja im 1. und 2.Quadrant gleichzeitig aufhalten, or?

Uns wurde zudem der Hinweis gegeben, mit der Dichte und dem Transformationssatz zu arbeiten.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-05


Was ist das denn für ein Studiengang?

Der Hinweis mit dem 1. und 3. Quadranten ist ja nicht falsch, aber schon sehr speziell.
Naja, zumindest kannst Du eine (und mit ein wenig Zusatzwissen sogar zwei) der sechs Fragen damit beantworten.
Aber das Verständnis von Korrelation sollte schon etwas tiefer gehen.

Das man die Dichte braucht, wenn man die Eigenschaften formal exakt nachrechnen will, ist klar. Wofür man den Transformationssatz braucht, erschließt sich mir nicht so ganz.



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Niffty
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-06


2019-12-05 15:10 - Kitaktus in Beitrag No. 9 schreibt:
Was ist das denn für ein Studiengang?

Der Studiengang ist Informatik und das Modul ist "Mathematik 3" im 3. Fachsemester.

Muss den Spaß morgen abgeben und schaffe es vermutlich nicht komplett. Aber danke für die Hilfe bis hierhin schon mal. Die kompletten Lösungswege erfahre ich dann in 2 Wochen im Tutorium.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-06


Ich stelle mal ein paar Suggestivfragen:

Wenn Du einen Punkt hast, der zufällig aus einem (achsenparallelen) Rechteck gewählt wurde, kannst Du dann aus der x-Koordinate irgendeinen Rückschluss auf die y-Koordinate ziehen?
Wie sieht das ganze aus, wenn es kein Rechteck sondern ein Kreis ist?
Wie ist es, wenn das Gebiet aus zwei Quadraten im 1. und 3. Quadranten besteht?
In den Fällen, in denen man aus der einen Koordinate keine Rückschlüsse auf die andere ziehen kann, spricht man von Unabhängigkeit.

Korrelation ist damit verwandt. Unabhängige Größen sind immer auch unkorreliert. Die Umkehrung gilt allerdings nicht.
Man kann sich dem Begriff qualitativ nähern, wenn man sich fragt: Kann ich aus der x-Koordinate einen Rückschluss auf _den mittleren Wert_ der y-Koordinate ziehen?(*)
Nehmen wir das Beispiel Kreis. Die Kenntnis der x-Koordinate schränkt die möglichen Werte der y-Koordinate mehr oder weniger stark ein. Kenne ich die x-Koordinate, dann weiß ich auch mehr über die y-Koordinate. Der _mittlere_ Wert der y-Koordinate ist aber für alle x-Koordinaten gleich, nämlich ...
x- und y-Koordinate sind hier also nicht korreliert.

(*) Es wäre schön, wenn man sagen könnte: "Lautet die Anwort nein, dann sind die Größen unkorreliert, lautet sie ja, dann sind sie korreliert."
Der erste Teil der Aussage ist richtig, der zweite nicht. Das liegt daran, dass die Definition von Korrelation eigentlich "nur" eine lineare Korrelation erfasst. Nur wenn der Mittelwert von y zumindest ein kleines bisschen mit wachsendem x (linear) wächst oder fällt, spricht man von korrelierten Größen. Es gibt Konstellationen, in denen das nicht der Fall ist, obwohl y sehr stark von x abhängt. Die auf [-1, 1] gleichverteilte Zufallsgröße X und die Zufallsgröße Y=X2 hängen zwar maximal stark voneinander ab, aber diese Abhängigkeit hat keinen linearen Anteil. Daher sind X und Y unkorreliert.
Das wirkt erstmal unplausibel. Schaut man sich stattdessen die umgekehrte Abhängigkeit an -- also "Wie stark hängt (der Mittelwert von) X von Y ab?", dann stellt man fest, dass es da gar keine Abhängigkeit gibt. Egal welchen Wert Y annimmt. Der Mittelwert der zugehörigen X ist immer der gleiche.


Ehrlich gesagt erscheint mir ein qualitatives Verständnis der Begriffe wichtiger, als zu wissen, wie man die Korrelationskoeffizienten ausrechnet. Das macht in vielen (praktischen) Fällen sowieso ein Programm, man muss aber plausibilisieren können, ob das Ergebnis richtig ist und man muss eine Vorstellung davon haben, was Korrelationskoeffizienten=0.5 eigentlich aussagt.



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