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Lineare Algebra » Determinanten » Determinante einer Matrix bestimmen, welche Sinus- und Cosinus enthält?
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Universität/Hochschule Determinante einer Matrix bestimmen, welche Sinus- und Cosinus enthält?
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-03


Guten Abend lieber Mathe-Planet.

Ich habe eigentlich relativ einfache Aufgaben bekommen, die ich aber einfach nicht gelöst kriege! Hier ein Bild:



(Die a) habe ich glaube ich noch geschafft bekommen, könntet ihr vielleicht einen kurzen Blick drauf werfen und mir sagen, ob das so okay ist?)



------
So, das eigentlich Problem ist jetzt aber die b). Meine Idee wäre gewesen,  die Erkenntnisse aus a) zu nutzen. Das heißt, erstmal Determinante bestimmen und wenn diese ungleich 0 ist, dann sind die Funktionen linear unabhängig. Die Matrix W_x, bzw die Determinante von W_x würde erstmal so  aussehen:



So weit, so gut. Leider haben wir die Regel von Sarrus noch nicht eingeführt, also muss man die Determinante auf dem mühevollen Weg über LAPLACEschen Entwicklungssatz oder über Umformung zur Dreiecksform ermitteln. Leider ist das aber soooo aufwendig, sieht vielleicht jemand eine andere Möglichkeit, das ganze zu lösen? Ich habe es mal mit Laplace probiert, aber das war zum Schluss ein so fetter Term...Gefühlt tausende Klammern, man muss sehr häufig die trig. Identitäten anwenden (die wir eigentlich noch garnicht hatten, also muss ich die erst beweisen juhu)... Es muss einfach eine bessere und schnellere Möglichkeit geben, diese Aufgabe zu lösen. Sieht da jemand was und kann mir einen Tipp geben? Ich wäre sehr dankbar, ich habe nämlich schon einiges an Zeit an solch einer kleinen Aufgabe verschwendet.

Laut Wolfram-Alpha soll -16sin⁶(x) als Determinante rauskommen, ich bin mir nicht ganz sicher, wie das zu interpretieren ist. Der Sinus besitzt ja Nullstellen, also ist für gewisse x die Determinante 0. Was soll das nun sagen, soll man diese x einfach ignorieren und sagen: "Jo, linear unabhängig" oder muss man noch mehr machen?? Ich hoffe dieser Beitrag ist nicht zu lang, vielen Dank schon mal im Voraus!



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-03


Hallo,

In der Aufgabe steht "für ein x", nicht "für alle x". Das löst glaube ich beide deiner Probleme ;-).

vG,
Fabi


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-03


Hey,

Ich würde vermutlich zeigen, dass $(det(f_j^{(i)})_{i,j}) (z) = det(f_j^{(i)}(z))_{i,j}$ ist für alle reellen z und dann für z Pi einsetzen . Die rechte Seite sollte dann leichter zu berechnen sein (?) Und wenn diese von  0  verschieden ist dann ist die Abbildung det(W_x(..)) auch von null verschieden.
Hilft das bereits weiter ?

Beste Grüße
Creasy

Ich hab auf dem handy keine gute Darstellung meines Beitrags. Ich hoffe es passt so :)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Smile (:



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LineareAlgebruh
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-03


Oooooooooooooooh, ja, lesen zu können wäre natürlich auch nicht schlecht... Jetzt um mal ganz schnell sicher zu gehen, man könnte zb. x=pi/2 nehmen, dann erhält man die Matrix:

1 0 -1
0 -2 0
-1 0 9

det ist gleich -18 also ungleich 0. Das wars oder?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo LineareAlgebruh,

nur als kleine Anmerkung, die nicht nur direkt auf diese Aufgabe anzuwenden ist: die Regel von Sarrus ist einfach nur die Leibnizsche Summenformel für den Spezialfall von $3\times3$-Matrizen. Falls ihr diese Summenformel kennt, dann kennt ihr also auch die Regel von Sarrus.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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