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Analysis » Folgen und Reihen » Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen
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Universität/Hochschule Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-07


Hallo Leute,

folgende Reihe verwirrt mich etwas, die ich auf absolute Konvergenz und Konvergenz untersuchen soll:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (\sqrt[k]{k}-1)$

Als Tipp habe ich bekommen, dass $e^x \geq 1 + x$ für $x \geq 0$ gilt.

Nun habe ich den Betrag der Summanden betrachtet:
$$|\sqrt[k]{k} - 1|
\leq |\sqrt[k]{k}| + |1|
= \sqrt[k]{k} + 1 \rightarrow 2$$ Also ist die Folge der Betäge der Summanden keine Nullfolge und damit konvergiert die Reihe nicht.

Inwiefern habe ich nun den obigen Tipp gebraucht, oder habe ich etwas gravierendes übersehen/nicht beachtet?

Viele Grüße,
Shurian



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07


Hi Shurian,
der Term fed-Code einblenden konvergiert gegen Null und nicht gegen 2.
Gruß Buri



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


Stimmt, da war ich wohl völlig neben der Spur, danke dir für den Hinweis.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-07


Hallo,

sei $a_k=\sqrt[k]{k}-1$, so gilt $k=(a_k+1)^k\leq e^{a_k\cdot k}$. Hier habe ich den Hinweis verwendet. Wie geht es weiter?



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-07


$e^{a_k \cdot k} = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(a_k \cdot k)^n}{n!}$ und das ist eine konvergente Majorante. Damit konvergiert die Reihe auch absolut(?)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-07


Nein, du hast mich missverstanden.
Du untersuchst die Reihe
\[\sum_{k=1}^\infty (-1)^ka_k\] und weißt, dass $e^{k\cdot a_k}\geq k$. Für ein festes $k$ ist
\[e^{a_k \cdot k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_k \cdot k)^n}{n!}\] aber das ist vollkommen irrelevant, weil das ja nur bedeutet, dass $e^{a_k \cdot k}$ ein sinnvoller Ausdruck ist, aber keine Aussage zur Summe der $a_k$ macht.

Wie kannst du $a_k$ mit Hilfe von $e^{k\cdot a_k}\geq k$ nach unten abschätzen?



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08


Tut mir leid, ich komme auf keinen grünen Zweig  ☹️



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trunx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-08

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Du sollst \(\sqrt[k]{k}\) mit Hilfe der Wurzel- und Potenzgesetze auf die Form e hoch ... bringen. Wenn du das hast, kannst du mit dem Tipp weiter machen.

bye trunx


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.
\(\endgroup\)


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