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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Matrizen mit besonderen Eigenschaften konstruieren
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Universität/Hochschule Matrizen mit besonderen Eigenschaften konstruieren
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-08


Hallo Leute,

bei folgender Aufgabe habe ich nicht die geringste Ahnung wie/wo ich anfangen soll:

Konstruieren Sie mittels Aufgabe 3(a,b) drei verschiedene Matrizen $A_1$, $A_2$ und $A_3 \in M_{2,2}(\mathbb{Q})$ mit $A_i \cdot A_i = A_i$ und $A_i \cdot (1,1)^t = (1,1)^t$.


Aufgabe 3(a,b) bestanden aus folgender Situation:

Sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum. Sei ferner $W$ ein Komplement von $U$ in $V$. Zeigen Sie:

a) Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\pi : V \to V$ welche eingeschränkt auf $U$ die Identität und eingeschränkt auf $W$ konstant Null ist.

b)Für dieses $\pi$ gilt: $\pi \circ \pi = \pi$

Ich weiß leider gerade überhaupt nicht wie ich mit dieser Aufgabe Matrizen mit obigen Eigenschaften konstruieren soll/kann. Hat jemand einen Ansatz?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09


Aufgabe 3 sagt dir, wie du Projektoren auf einen Untervektorraum $U$ konstruierst. Ist dir schonmal klar, dass du Matrizen zu diesen Projektoren bzgl. der Standardbasis konstruieren sollst? Dann: Was ist $V$, was ist $U$?


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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


2019-12-09 15:46 - ligning in Beitrag No. 1 schreibt:
Ist dir schonmal klar, dass du Matrizen zu diesen Projektoren bzgl. der Standardbasis konstruieren sollst? Dann: Was ist $V$, was ist $U$?

Wie das mit den Projektoren gemeint ist, ist mir noch nicht so klar. Aber Als $V$ wähle ich $M_{2,2}(\mathbb{Q})$ und als Unterraum $U$ könnte ich die lineare Hülle von zwei der kanonischen Basismatrizen des $M_{2,2}(\mathbb{Q})$ nehmen.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10


2019-12-10 18:50 - Shurian in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie das mit den Projektoren gemeint ist, ist mir noch nicht so klar.
Du darfst gerne weitere Fragen dazu stellen oder Überlegungen präsentieren.


Aber Als $V$ wähle ich $M_{2,2}(\mathbb{Q})$ und als Unterraum $U$ könnte ich die lineare Hülle von zwei der kanonischen Basismatrizen des $M_{2,2}(\mathbb{Q})$ nehmen.
Mir ist nicht klar, wie du darauf kommst. Wieso soll $V$ dieser Matrizenraum sein? Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen ist dir grundsätzlich bekannt?



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Es gibt einen Isomorphismus $M_w^v : Hom_K(V, W) \to M_{m,n}(K)$ und $M_w^v(f)$ heißt die, die lineare Abbildung $f$ bezüglich der Basen $v$ und $w$ darstellende Matrix. Je nachdem welche Basen ich mir aus $V$ und $W$ nehme, bekomme ich eine andere Darstellungsmatrix. Mehr weiß ich leider nicht und ich weiß leider auch nichts bezüglich Projektoren, habe allerdings nachgelesen dass Projektionen wohl Abbildungen mit genau der in Aufgabe 3 beschriebenen Eigenschaft sind, also dass $f \circ f = f$ gilt.

Bezogen auf meine Aufgabenstellung steht doch dann der Isomorphismus $M_{v'}^v : End_\mathbb{Q}(V) \to M_{2,2}(\mathbb{Q})$ im Mittelpunkt. Nun weiß ich leider nicht was $V$ hier nun sein soll.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-10


2019-12-10 21:19 - Shurian in Beitrag No. 4 schreibt:
Es gibt einen Isomorphismus $M_w^v : Hom_K(V, W) \to M_{m,n}(K)$ und $M_w^v(f)$ heißt die, die lineare Abbildung $f$ bezüglich der Basen $v$ und $w$ darstellende Matrix. Je nachdem welche Basen ich mir aus $V$ und $W$ nehme, bekomme ich eine andere Darstellungsmatrix. Mehr weiß ich leider nicht
Es wäre so allgemein hilfreich, die Darstellungsmatrix bzgl. gegebener Basen auch bestimmen zu können. Auch wichtig zu wissen ist, dass die Multiplikation von Matrizen unter diesem Isomorphismus der Komposition von linearen Abbildungen entspricht (wenn die Basen zusammenpassen), also insbesondere gilt bei Endomorphismen $M_v^v(f\circ g) = M_v^v(f)\cdot M_v^v(g)$.


 und ich weiß leider auch nichts bezüglich Projektoren, habe allerdings nachgelesen dass Projektionen wohl Abbildungen mit genau der in Aufgabe 3 beschriebenen Eigenschaft sind, also dass $f \circ f = f$ gilt.
Achso, ja, das hätte ich vielleicht dazusagen sollen.


Bezogen auf meine Aufgabenstellung steht doch dann der Isomorphismus $M_{v'}^v : End_\mathbb{Q}(V) \to M_{2,2}(\mathbb{Q})$ im Mittelpunkt. Nun weiß ich leider nicht was $V$ hier nun sein soll.
Tipp: Betrachte $V=\IQ^2$ mit der Standardbasis. Was ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $V\to V, v\mapsto A\cdot v$, wobei $A\in M_{2,2}(\IQ)$?

Erkennst du in den Bedingungen $A\cdot A=A$ und $A\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ irgendwie die charakterisierenden Eigenschaften eines Projektors wieder?



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10



Tipp: Betrachte $V=\IQ^2$ mit der Standardbasis. Was ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung $f:V\to V, v\mapsto A\cdot v$, wobei $A\in M_{2,2}(\IQ)$?

Es ist gerade $A$ selbst: $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$


Erkennst du in den Bedingungen $A\cdot A=A$ und $A\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ irgendwie die charakterisierenden Eigenschaften eines Projektors wieder?

Ja es ist nämlich $M_v^v(f) \cdot M_v^v(f) = M_v^v(f)$. Die Gleichung mit der transportierten Matrix kann ich gerade nicht deuten, hat das vielleicht etwas mit dem Eigenwert des Bildes von $f$ zu tun?



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ligning
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Letzteres sagt doch nichts anderes, als dass die durch $v\mapsto A\cdot v$ definierte Abbildung auf den Unterraum $U = \left \langle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right\rangle$ eingeschränkt die Identität ist.



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