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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibel und reduzibel: 4x² - 16x - 64
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Universität/Hochschule Irreduzibel und reduzibel: 4x² - 16x - 64
promaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-09


Hallo!

Bei meiner Hausaufgabe muss ich für verschiedene Polynome bestimmen, ob sie in den Polynomringen, $\IZ[x]$ und  $\IQ[x]$, irreduzibel oder reduzibel sind.

Die ersten zwei Aufgaben konnte ich mit dem Eisenstein-Kriterium lösen, war kein Problem.

Beim dritten Beispiel funktionierte dieses Kriterium nicht mehr, da mein Polynom nicht primitiv ist.

Mein Polynom: \[4x^2-16x-64\]
Wie gehe ich jetzt am Besten an diese Aufgabe heran?

Ich habe mir überlegt, dass man das Polynom im Polynomring  $\IQ[x]$ nicht als Linearfaktoren darstellen kann, da die Nullstellen des Polynoms Zahlen aus  $\IR$ sind. Und daraus folgt, dass es irreduzibel über  $\IQ[x]$ ist?

Geht das?

Wenn ja, kann ich dann dadurch darauf schließe, dass wenn das Polynom in $\IQ[x]$ irreduzibel ist, dass es das dann auch in  $\IZ[x]$ ist?

Danke schonmal :-D



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09


1) Für die Irreduzibilität über $\IQ$ brauchst du nicht, dass die Nullstellen in $\IR$ sind, sondern dass sie nicht in $\IQ$ sind.

2) Das Polynom ist reduzibel über $\IZ$. Man sieht leicht einen konstanten Faktor, den man herausziehen kann.



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promaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09


Hallo!
Vielen lieben Dank für die Antwort!

1) hab ich verstanden

zur 2) hätte ich noch eine Frage:

Könntest du mir bitte erklären, warum man weiß, dass es reduzibel ist, wenn man einen konstanten Faktor in herausziehen kann?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10


Zu deiner Frage zu 2): Was ist denn die Definition von Reduzibilität?


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-10


Man kann ja immer den Faktor 1 herausziehen. Entscheidend ist, dass man hier sogar einen Faktor herausziehen kann, der keine Einheit ist. Nämlich ...



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promaths
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


2019-12-10 00:00 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Zu deiner Frage zu 2): Was ist denn die Definition von Reduzibilität?



Die Definition von irreduzibel lautet:
$a != 0 $ ist irreduzibel, falls $a$ nicht invertierbar und aus $a =bc $ stets $b$ invertierbar oder $c$ invertierbar.

Hab bei der Definition von reduzibel Probleme, ich würde einfach die Definition von irreduzibel verneinen.
Also für reduzibel würde dass dann wohl heißen:
$a != 0 $ ist reduzibel, falls $a$ invertierbar und aus $a =bc $ stets $b$ nicht invertierbar und $c$ nicht invertierbar.





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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-10


Fast richtig 😉 Beim Verneinen werden „oder“ und „und“ Operatoren vertauscht, z.B. genügt es, dass $a$ invertierbar ist, sodass $a$ nicht irreduzibel ist.
(Dieser Fehler ist dir zweimal passiert, $a=0$ ist nämlich auch reduzibel.)

Wende nun diese Definition an (und den Tipp vom Triceratops).


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