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Analysis » Stetigkeit » Anwendung des Zwischenwertsatzes, um Aussage zu beweisen
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Universität/Hochschule Anwendung des Zwischenwertsatzes, um Aussage zu beweisen
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-10


Guten Morgen liebe Community,
Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:



Ich weiss leider nicht so recht wie man das zeigen kann, ich habe mir aber mal etwas zu überlegt.

Angenommen, die Funktion sei nicht konstant, weil sonst könnte man ja sofort so ein x finden. Wenn sie nicht konstant ist, bedeutet das, dass es ein m€[0,1] geben muss, sodass entweder f(m) > f(0) = f(1) 0 oder f(y) < f(0) = f(1) gilt. Dann kann man die Teilintervalle von [f(0),f(m)) und [f(1),f(m)) betrachten. Weil f stetig ist, kann man nun den ZWS anwenden und erhält: Für ein bel. α€[f(0),f(m)) existiert ein β€[0,m) sodass f(β) = α. Da aber [f(0),f(m)) = [f(1),f(m)), folgt nun auch: es existiert ein γ€(m,1] sodass f(γ) = α wobei aber offensichtlicherweise β≠γ gilt. Jetzt haben wir also zwei unterschiedliche x-Werte gefunden, die den selben y-Wert haben. Weil α beliebig gewählt ist, gibt es mehrere von diesen Werten (unendlich viele).  Jetzt muss man noch irgendwie zeigen, dass diese beiden x-Werte 1/n von einander entfernt liegen können. Hat da jemand eine Idee, wie man das machen kann? Komme irgendwie nicht so wirklich weiter. Danke im voraus!



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10


Hallo,

bei solchen Aufgaben bietet es sich an, eine Hilfsfunktion zu konstruieren. Sei $g\colon \left[0,1-\frac 1n\right]\to\mathbb{R}$ definiert durch $g(x)=f(x)-f\left(x+\frac 1n\right)$ für alle $x\in \left[0,1-\frac 1n\right]$.
Die Funktion $g$ ist stetig. (Warum?) Betrachte nun die Funktionswerte von $g$ an den Stellen $0,\,\frac 1n,\,\frac 2n,\,\ldots,1-\frac 1n$. Können die alle positiv sein? Können sie alle negativ sein? Betrachte
hierzu \[\sum_{k=0}^{n-1}g\left(\frac kn\right).\]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von ochen]



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LineareAlgebruh
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Aha, das klingt schon ziemlich gut, vielen Dank! Ich bin mir nicht ganz sicher, ich hätte aber gesagt, dass die Summe 0 ergibt. Weil man kann ja die Definition von g(x) einsetzen und dann Teleskopmäßig rausstreichen, bis f(0) - f(1) übrig bleibt, das ist gleich 0. Das kann nur zwei Sachen bedeuten: Erstens: jedes Glied dieser Reihe ist 0, aber dann wäre g eine konstante Funktion und somit auch f eine konstante Funktion, was wir ja von Anfang an ausgeschlossen haben, oder Zweitens: Es gibt positive und negative Glieder in dieser Reihe damit sich das ganze zum Schluss zu 0 wegkürzt. Also kann g(x) negative und positive Werte annehmen, somit gibt es auch aufgrund des ZWS (g ist als Summe stetiger Funktionen auch stetig) ein x, sodass g(x) = 0 ergibt. Und das wärs dann doch auch schon, oder irre ich mich da?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10


2019-12-10 14:04 - LineareAlgebruh in Beitrag No. 2 schreibt:
Aha, das klingt schon ziemlich gut, vielen Dank! Ich bin mir nicht ganz sicher, ich hätte aber gesagt, dass die Summe 0 ergibt. Weil man kann ja die Definition von g(x) einsetzen und dann Teleskopmäßig rausstreichen, bis f(0) - f(1) übrig bleibt, das ist gleich 0.
Bis hier ist alles richtig.


Erstens: jedes Glied dieser Reihe ist 0, aber dann wäre g eine konstante Funktion [...]
Das ist falsch. Betrachte $n=3$. Nur weil $g(0)=g(\frac 13)=g(\frac 23)=0$ ist, muss $g$ nicht konstant sein. Trotzdem genügt dir, dass $g(0)=0$ ist.


[...] oder Zweitens: Es gibt positive und negative Glieder in dieser Reihe damit sich das ganze zum Schluss zu 0 wegkürzt. Also kann g(x) negative und positive Werte annehmen, somit gibt es auch aufgrund des ZWS (g ist als Summe stetiger Funktionen auch stetig) ein x, sodass g(x) = 0 ergibt. Und das wärs dann doch auch schon, oder irre ich mich da?
Das stimmt wieder :)



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LineareAlgebruh
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Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Wow, vielen Dank! Das ist eine echt clevere Lösung, darf ich fragen wie Sie darauf gekommen sind? So ganz spontan oder haben Sie gezielt danach gesucht? Die Lösung ist an sich echt nicht schwer zu verstehen, ich wäre da aber trotzdem wahrscheinlich niemals im Leben drauf gekommen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-10


Hallo, zuerst einmal kannst du im Forum alle duzen. Es empfiehlt sich fast immer bei solchen Aufgaben, die linke von der rechten Seite abzuziehen und das als Hilfsfunktion zu wählen, da wir dann nur zeigen müssen, dass die Hilfsfunktion an irgendeiner Stelle Null wird. Danach muss man sich nur überlegen, warum sie irgendwo Null wird. Das war hier der schwierige Teil.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-10


2019-12-10 14:33 - LineareAlgebruh in Beitrag No. 4 schreibt:
Das ist eine echt clevere Lösung,

Das stimmt!

Ich dachte mir aber, das kann man doch bestimmt verallgemeinern:

Sei \(f:[0,1]\rightarrow\IR\) stetig, \(f(0)=f(1)\) und \(0<a<1\). Dann gibt es ein \(x\) mit \(0\leq x\leq1-a\) und \(f(x)=f(x+a)\).

Nach etwas Überlegen habe ich aber ein Gegenbeispiel gefunden.

Dann dachte ich, dass folgendes gilt:

Sei \(f:[0,1]\rightarrow\IR_{\geq0}\) stetig, \(f(0)=f(1)=0\) und \(0<a<1\). Dann gibt es ein \(x\) mit \(0\leq x\leq1-a\) und \(f(x)=f(x+a)\).

Aber auch das stimmt nicht.

Gruß
StrgAltEntf



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