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Mathematik » Numerik & Optimierung » Kontraktionskonstante bei linearer Abbildung
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Universität/Hochschule J Kontraktionskonstante bei linearer Abbildung
elektrotechniker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-10


Hallo,

ich lerne gerade für eine Numerikklausur, und habe mir etwas eigenständig überlegt, und würde mich freuen wenn jemand drüberschauen könnte ob das so passt, auch wenn es vielleicht banal ist :)

Also, für den Banachschen Fixpunktsatz muss die gegebene Funktion $f: D \rightarrow D$ kontrahierend sein; Es muss also gelten, dass es ein $0 < \lambda < 1$ gibt, sodass:
\[
  \forall x,y\in D: \lVert f(x) - f(y) \rVert \leq \lambda\lVert x-y\rVert
\]
Hat man nun eine lineare Funktion $f(x) := Ax$ für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ gegeben, so weiss ich aus der Vorlesung, dass $f$ kontrahierend ist, falls gilt:
\[
    \lVert A \rVert < 1
\] für eine beliebige Norm $\lVert\cdot\rVert$.


Ich brauche für die Fehlerabschätzungen aber das $\lambda$, also die Kontraktionskonstante, welche mir durch diesen Satz aber nicht gegeben wird. Ich habe mir also überlegt, mit bspw. der Zeilensummennorm $\lVert\cdot\rVert_\infty$:

\[
    \lVert f(x) - f(y) \rVert_\infty = \lVert Ax - Ay \rVert_\infty = \lVert A(x - y) \rVert_\infty = \lVert A\rVert_\infty \lVert x - y \rVert_\infty
\]
was aus der Linearität von $f$ und der Verträglichkeit der von mir betrachteten Normen folgt.

Wenn ich aber nun schon gezeigt habe, dass $\lambda := \lVert A\rVert_\infty < 1$, dann steht da doch schon direkt was ich brauche und $\lVert A\rVert_\infty < 1$ ist meine Kontraktionskonstante, richtig?

Vielen Dank im Voraus!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10

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Hallo elektrotechniker,

in deiner Abschätzung muss es am Ende noch ein $\leq$ statt einem $=$ stehen. Davon abgesehen stimmt das alles. Du musst nicht einmal beim Beispiel der Zeilensummennorm bleiben. Du hast ja nur Linearität und Verträglichkeit benutzt, also gilt ganz allgemein: Ist die Matrixnorm verträglich mit der Vektorraumnorm, dann ist die Matrixnorm ein solches $\lambda$ wie in der Definition der Kontraktion gefordert.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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elektrotechniker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Hallo Vercassivelaunos,

vielen lieben Dank für die Antwort :)

Das $\leq$ kommt aus der Formel für verträgliche Matrixnormen, richtig?
\[
    \forall A, v:  \lVert Av \rVert \leq \lVert A\rVert\lVert v\rVert
\]
Gruß



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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10


Ja, richtig.



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elektrotechniker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10


Vielen Dank euch!



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elektrotechniker hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elektrotechniker hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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