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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Exponentielles Abklingen / stabile Mannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Exponentielles Abklingen / stabile Mannigfaltigkeit
Caleb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-11


Nabend,

ich habe eine Frage zu stabilen Mannigfaltigkeiten.
Angenommen, wir haben eine PDE <math>u_t=u_{xx}+f(u)</math>, wobei <math>f</math> eine Nichtlinearität ist mit Nullstellen <math>0</math> und <math>1</math> und beide sind Sattelpunkte.

Jetzt sei <math>\varphi</math> eine (fallende, also <math>\varphi"<0</math>) travelling wave, also eine Heterokline, die 1 mit 0 verbindet.

Dann gilt sicherlich
<math>\displaystyle
\lvert\varphi"\rvert=-\varphi" \leqslant Ce^{\lambda x}, x>0,
</math>
sowie
<math>
-\varphi"\leqslant De^{\mu x}, x<0
</math>
für positive Konstanten <math>C,D</math>,
wobei <math>\lambda<0</math>  der zu <math>0</math> gehörige stabile Eigenwert sei und <math>\mu>0</math> der zu <math>1</math> instabile. Das gilt, weil <math>\varphi</math> im Schnitt der stabilen/instabilen Mannigfaltigkeit von 0 und 1 liegt und daher mit exponentieller Rate gegen 0 bzw. 1 konvergiert.

Ich habe gehört, dass wegen dem Satz über stabile Mannigfaltigkeiten oder dem Theorem von Grobmann und Hartmann auch gilt, dass

<math>\displaystyle
-\varphi"= C(x) e^{\lambda x}, x>0
</math>
<math>
-\varphi"=D(x) e^{\mu x}, x<0
</math>
wobei <math>C, D</math> nun keine Konstante mehr sind, sondern  nichtlineare, beschränkte Funktionen.

Das verstehe ich gar nicht.
Kann das jemand erklären?



Viele Grüße



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13


Hallo,

ich weiß nicht, welche Version des Satzes über stabile Mannigfaltigkeiten Ihr hattet, aber da in der gewöhnlichen DGL für die Traveling-wave-Lösung die Eigenwerte jeweils einfach sind, kann man zeigen, dass Lösungen in den invarianten Mannigfaltigkeiten mit der Rate <math>e^{\lambda x}</math> bzw. <math>e^{\mu x}</math> abklingen.

Damit könntest Du dann <math>C(x)=-\varphi" e^{-\lambda x}</math> definieren(!) und der Satz über invariante Mannigfaltigkeiten sagt, dass <math>C(x)</math> beschränkt ist.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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Caleb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Hallo, haerter,

danke für deine Antwort.

Dass die Lösungen mit den exponentiellen Raten abklingen, ist genau das, was ich kenne.

Mit dieser Definition ist <math>C(x)</math> für <math>x>0</math> beschränkt und nicht-linear für <math>x\to\infty</math>. Und der Limes für <math>x\to\infty</math> muss dann ebenfalls existieren.


Ich habe noch zwei Fragen.

(1) Wieso kann man <math>C(x)</math> einfach so definieren? Ich sehe ein, dass es alles tut, was es soll, aber irgendwie ist es mir trotzdem unklar, wieso das funktioniert bzw. man das darf...

(2) Kann man auch für <math>\varphi</math> selbst so vorgehen, d.h. gilt auch dass <math>\varphi(x)=K(x)e^{\lambda x}</math> für <math>x>0</math>, dann mit <math>K(x)=\varphi(x)e^{-\lambda x}</math>? Oder hat man so eine Darstellung nur für <math>\varphi"</math>?


Viele Grüße!



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