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Lineare Algebra » Determinanten » Beweis für Determinante "abstrakter" Matrix
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Kein bestimmter Bereich Beweis für Determinante "abstrakter" Matrix
niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-12


Hallo,

bei folgender Aufgabe weiß ich nicht ganz recht, wie man vorgehen muss.



Mit einer solch abstrakten Matrix fällt es mir nicht so leicht, die für mich üblichen Methoden (Gauß, Entwicklung, ...) anzuwenden bzw. mir vorzustellen, was bei den Operationen passiert.

Jegliche Tipps gern gesehen!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-12


Da steht ein Tipp / Hinweis direkt in der Aufgabenstellung. Was hast du damit probiert?

Wenn dir das ganze zu abstrakt ist, behandle erst den Fall n = 3 (ohne die Sarrus-Regel etc. zu verwenden).



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niklasm
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-13


Ich habe es jetzt auf verschiedene Weisen probiert, das was sich am ehesten "richtig" anfühlte war folgende Vorgehensweise:

Mit Multilinearität aus jeder Zeile die Einträge in der ersten Spalte rausziehen, so entsteht vorne 1-er Spalte und ein Produkt von 1 bis n vor der Determinante. Jetzt jeweils so ein Vielfaches der 1. Spalte von den anderen abziehen, dass die 1. Zeile 0-Zeile bis auf die 1 in Spalte 1 wird.
Jetzt ist die Determinante laut Laplace das herausgezogene Produkt mal die Determinante der Matrix der Einträge 2<= i,j <= n. Jetzt wieder erste Spalte 1en erzeugen, wodurch ein Produkt von 2 bis n vor der Det entsteht, erste Zeile wieder 0en bis auf in Spalte 1 erzeugen usw.
Das ganze weiter entwickeln, bis nur noch Skalare übrig bleiben.

Jedoch werden mir die Terme, selbst nach Vereinfachen sehr schnell sehr kompliziert. Ich erkenne nicht, wie sich meine Terme zu dem Gewünschten vereinfachen sollen, auch wenn das Produkt aus Produkten, das sich aufbaut, in etwa den Charakter der Lösung hat (in Sachen Laufindizes, nicht in Sachen Terme/Faktoren).

Das ganze zu texn würde jetzt etwas dauern.. ich hoffe die verbale Umschreibung gibt meine Idee wieder.



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