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Mathematische Physik » Distributionen » Integraldarstellung der Delta-Funktion
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Universität/Hochschule Integraldarstellung der Delta-Funktion
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-15


Hallo,

als wir die Integraldarstellung der Delta-Funktion

$$ \delta(E - E_0) = \int \frac{\mathrm{d}k}{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k (E - E_0)}
$$
kennengelernt haben, wurden wir gemahnt, dass man diese Darstellung nur benutzen darf, wenn man die Delta-Funktion bereits unter einem Integral stehen hat. Diese Identität wurde aber auch im Buch "Statistische Mechanik" von Schwabl in Abschnitt 2.2.3.1 und 2.2.3.2 für Ausdrücke der Gestalt

$$ \sum_{\ldots} \delta(E - H(\widetilde{\ldots}))
$$
benutzt und ich bin ein bisschen perplex warum man das darf. Weiß das vielleicht jemand?

Ich freue mich auf Rückmeldung! :-)


Grüße
Sebastian



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-15

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Hallo Sebastian,

die $\delta$-Distribution ist ohnehin nur darüber definiert, wie sie unter einem Integral wirkt. Zu sagen, eine bestimmte Darstellung dürfe man nur unter einem Integral verwenden, ist also eigentlich überflüssig. Man darf die $\delta$-Distribution sowieso nur in Kontexten verwenden, in denen irgendwann integriert wird.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16

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Hallo Vercassivelaunos,


2019-12-15 14:11 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
(...) Man darf die $\delta$-Distribution sowieso nur in Kontexten verwenden, in denen irgendwann integriert wird.

wir könnten ja mal die Polizei rufen?




Grüße
Sebastian

P.S.: Diesen Spaß konnte ich mir jetzt nicht verkneifen.  wink Vermutlich verstehe ich es einfach nur nicht...
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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-16

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Ich kann den Kontext nicht erkennen. Ich würde aber wetten, dass zu irgendeinem späteren Zeitpunkt über die Funktion $\Omega(E)$ integriert werden soll. Ist das irgendeine Art Zustandsdichte? Dann wäre sie dafür ja geradezu prädestiniert.
Die Polizei musst du ja auch nicht rufen, wenn jemand sich im Supermarkt eine Ware aus dem Regal nimmt. Er hat ja später noch vor zu bezahlen ;)
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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-28 18:50

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2019-12-16 07:42 - Skalhoef in Beitrag No. 2 schreibt:
wir könnten ja mal die Polizei rufen?
....

Mir ist ebenfalls der Kontext nicht klar. Aber es fällt auf, dass alle Terme bis auf den allerletzten eine E-Abhängigkeit haben. Das würde bedeuten, dass Omega(E) konstant in E ist, und noch dazu entweder konstant Null oder konstant Unendlich.

Ansonsten: Man sollte nicht versuchen, irgendeine logische Strenge vorzutäuschen, wo sie nicht existiert. Der rigorose Zugang zur Delta-"Funktion" ist die Theorie der (temperierten) Distributionen. So eine Integraldarstellung der Delta-Funktion ist etwa, als ob man den Abbleitungs-Operator \(D : f \mapsto f' \) als Integralkern aufschreiben würde:
\[ D (x, y) = \iint \frac{\mathrm{d} p}{(2 \pi) } \mathrm{i} p\, \exp \mathrm{i} p  (x - y ) \] Sieht das besonders sinnvoll aus, außerhalb eines Integrals? Nein, denn das p-Integral ist divergent. Ich bin mir sicher, man kann das Integral "kreativ auswerten", um so etwas wie
\[ D (x, y) = \begin{cases} \infty : y - x = 0^+ \\ - \infty : y - x = 0^- \\ 0 : \text{sonst} \end{cases} \] zu bekommen, mit der zusätzlichen Forderung
\[ \int D(x, y)\,\mathrm{d}y = 0 . \] Das ist, als wollte man argumentieren, dass
\[ \sum_{n \in \mathbb N} n = - \frac{1}{12} \] ist. Und es gibt Leute, die stundenlang darüber reden können, warum das so sein soll (namentlich: Carl Bender). Interessanter finde ich, zu fragen, in welchem Sinne die Identität gelten soll. Bei der ominösen Summe läuft das auf die Riemannsche Zeta-Funktion \( \zeta (z) \) hinaus, die für \( \operatorname{Re} (z) > 1 \) als Summe \( \sum_{n \in \mathbb N } 1 / n^z \) gegeben ist und eine analytische Fortsetzung auf \( \mathbb C \setminus \lbrace 1 \rbrace \) besitzt, die bei \( z = -1 \) eben den Wert -1/12 annimmt.
Bei der Integraldarstellung des Ableitungsoperators läuft das darauf hinaus, dass dieser unter Konjugation mit der Fourier-Transformation ein Multiplikationsoperator wird. Bei der Integraldarstellung der Delta-"Funktion" läuft es darauf hinaus, dass (unter Extrapolation der Identität von Plancherel)
\[ \int (\mathcal F f) (k) \frac{\dd k}{2 \pi} = f(0) = \int \overline{\delta(x)}\,f(x)\,\mathrm{d} x = \int \overline{(\mathcal F \delta )(k)}\,(\mathcal F f )(k)\,\frac{\mathrm{d} k}{2 \pi } \] gelten würde, d.h. \( \mathcal F \delta (k) = 1\; \forall k \), und somit nach Fourier-Umkehrformel
\[ \delta (x ) = \frac{1}{2 \pi} \int \exp (\mathrm{i} k x) (\mathcal F \delta )(k) \mathrm{d} k = \frac{1}{2 \pi} \int \exp (\mathrm{i} k x) . \] Das ist alles (bzw. man *definiert* die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen entsprechend).

Außerhalb eines Integrals ergibt das alles keinen Sinn. \( \int \vert \exp (\mathrm{i} k x) \vert \mathrm{d} x = \infty \), d.h. das Integral ist jedenfalls kein Lebesgue-Integral. Man kann natürlich argumentieren, dass der Integrand für \( x = 0 \) konstant 1 ist und das Integral daher Unendlich ist (was rigoros ist), aber für \( x \neq 0 \) muss man argumentieren, dass das Integral aufgrund der Oszillation des Integranden Null sein sollte (was kleinkriminell ist). Und um zu begründen, dass das Integral der rechten Seite =Eins ist, muss man zum Schwerverbrecher werden.
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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-03 11:19


Nur eine knappe Bemerkung meinerseits, ohne ins Detail gehen zu wollen:

2019-12-28 18:50 - Martin_Gal in Beitrag No. 4 schreibt:
Man sollte nicht versuchen, irgendeine logische Strenge vorzutäuschen, wo sie nicht existiert.

Das halte ich für stark überspitzt. Nur weil es (für Physiker meist) nicht offensichtlich ist, bedeutet das nicht, dass den Rechnungen oder Ausdrücken in den Beiträgen von Skalhoef logische Strenge fehlt.

Ja, der rigorose Zugang ist die Distributionentheorie. Distributionen werden oft als lineare Funktionale auf einem Raum geeigneter Funktionen (Testfunktionen) betrachtet. Alternativ (äquivalent) dazu ist die Sichtweise, dass Distributionen Limiten von Testfunktionen in der schwach-*-Topologie sind (dafür benötigt man Stetigkeit). In diesem Sinne kann man dann Integraldarstellungen von Distributionen wirklich als "verallgemeinerte Funktionen" interpretieren: Es sind (gewöhnliche) Integrale von Approximationen der Distribution durch Testfunktionen. Das ist genau das, was stillschweigend in der Physik-Literatur gemacht wird, und so sollte z.B. $\delta(x)$ interpretiert werden.

Grüße,
PhysikRabe


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"Non est ad astra mollis e terris via" - Seneca
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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05 00:53

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Hier ist ja mal was los! :-)

2019-12-16 10:11 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich kann den Kontext nicht erkennen. Ich würde aber wetten, dass zu irgendeinem späteren Zeitpunkt über die Funktion $\Omega(E)$ integriert werden soll. (...)

Später wird (immer) mit $\Omega(E) \cdot \Delta$ weitergerechnet, wobei $\Delta$ die Dimension einer Energie hat und in einem gewissen Sinne klein ist. Im Prinzip könnte man das ja als Näherung eines Integrals betrachten

$$ \Omega(E) \cdot \Delta \approx \int_{[E, E + \Delta]} \Omega(s) \mathrm{d}s \text{.}
$$
So wirklich kaufen tu ich das aber noch nicht... Ich habe mich zwar mal ein wenig in Distributionentheorie eingelesen (Kaul und Fischer Band 2) aber mir fehlt da die Expertise um jetzt begründen zu können warum die Rechenschritte auf einmal doch wohldefiniert sind.
Vielleicht besitzt sie jemand anders?
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PhysikRabe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-06 14:18

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2020-01-05 00:53 - Skalhoef in Beitrag No. 6 schreibt:
$$ \Omega(E) \cdot \Delta \approx \int_{[E, E + \Delta]} \Omega(E) \mathrm{d}E \text{.}
$$

Für kleines $\Delta$ ist das doch einfach die Approximation des Riemann-Integrals. Beachte aber, dass in dieser (schlampigen) Notation $E$ zweierlei Bedeutungen hat: Einmal taucht es als Integrationsvariable auf, einmal als Parameter.

Grüße,
PhysikRabe


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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-06 16:19

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2020-01-06 14:18 - PhysikRabe in Beitrag No. 7 schreibt:
(...) Beachte aber, dass in dieser (schlampigen) Notation $E$ zweierlei Bedeutungen hat: Einmal taucht es als Integrationsvariable auf, einmal als Parameter.
(...)

Ahhhh! :D Normalerweise mache ich diese Notation nicht! Und jetzt mache ich den Fehler doch. Ich ärgere mich. :D (Und korrigiere es sofort!)
\(\endgroup\)


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