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Funktionentheorie » Holomorphie » Wesentliche Singularität im Unendlichen
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Universität/Hochschule Wesentliche Singularität im Unendlichen
Rapt
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  Themenstart: 2019-12-18

Hallo liebes Forum! Ich beschäftige mich derzeit mit Singularitäten und Laurent-Reihen. Eine Aufgabe, die ich gerne lösen möchte, ist folgende: Die Funktion \(f(x) = \mathrm{e}^{-x}\) hat im Unendlichen (also für \(x = \infty\)) eine wesentliche Singularität. Ich weiß nun leider nicht, wie ich das zeigen kann. Meine Idee war es, dies über die Lauren-Reihe zu zeigen. Ich schaffe es aber leider nicht, die Laurent-Reihe für \(f(x)\) im Punkt \(x = \infty\) aufzustellen. Meine Idee war es, etwas derartiges zu tun: Die Laurent-Reihe für \(g(x) = \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\) kann ich für \(x=\infty\) ja aufstellen, in dem ich in der Taylor-Reihe von \(h(x)=\mathrm{e}^{x}\) die Substitution \(x=\frac{1}{y}\) durchführe. Dann nämlich erhalte ich \[\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^{\frac{1}{y}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} y^{-n},\] was - soweit ich das verstehe - einer Laurent-Reihe um den Punkt \(y=\infty\) von \(g(y) = \mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\) entspricht. Wie aber schaffe ich es, das nun für die Funktion \(f(x) = \mathrm{e}^{-x}\) durchzuführen? Ich kann die Funktion \(g(x) = \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\) ja nicht im Punkt \(x=0\) entwickeln. Wie kann ich denn sonst zeigen, dass \(f(x)\) eine wesentliche Singularität im Unendlichen hat? Vielen lieben Dank schonmal für eure Hilfe!


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Rapt, du hast das doch so gut wie gelöst: nimm \(\D x=-\frac{1}{y}\), und du erhältst eine Laurentreihe mit unendlich vielen nichtverschwindenden Gliedern mit negativem Exponenten. Wally\(\endgroup\)


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Rapt
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-18

Hallo Wally, vielen Dank für deine Antwort! Wo soll ich deine vorgeschlagene Substitution \(x = - \frac{1}{y'}\) einsetzen? Wenn ich die Taylor-Reihe von \(h(x) = \mathrm{e}^{x}\) um den Punkt \( x = 0 \) nehme und die Substitution einsetze, erhalte ich ja die Laurent-Reihe von \(i(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} \) um \(x = \infty\). Ich bin ja in \(f(x) = \mathrm{e}^{-x}\) interessiert. Die Taylorreihe für \(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\) bekomme ich ja um den Punkt Null nicht hin. Das bräuchte ich doch aber, wenn ich deine Substitution verwenden sollte, oder stehe ich gerade auf dem Schlauch?


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, erstmal: das war nicht \(y'\) sondern \(y\) und ein Komma hinter dem Bruch ;) Mit \(y=-\frac{1}{x}\) hast du \(e^{-x}=e^{\frac{1}{y}}\), und wenn \(x\) gegen \(\infty\) geht, geht \(y\) gegen \(0\). Da jetzt die wesentliche Singularität bei Null ist, gibt es keine Taylorreihe, sondern nur eine Laurentreihe. Ein anderer Weg, um deine Aufgabe zu lösen wäre, dass du das Verhalten von \(e^x\) bei \(\infty\) betrachtest: eine hebbare Singularität ist es nicht, da es keinen Grenzwert gibt. Warum ist es kein Pol? Wenn du das beantworten kannst, bleibt nur eine wesentliche Singularität übrig. Wally\(\endgroup\)


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Rapt
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-19

Hey, danke für deine erneute Antwort. Das mit der Substitution habe ich verstanden. Aber wie stelle ich denn die Laurent-Reihe von \(\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\) um den Punkt \(y=0\) auf? Das ist ja quasi die gleiche Frage wie meine Ursprungsfrage (Laurent-Reihe von \(\mathrm{e}^{-x}\) um \(x=\infty\), oder? Die Logik des anderen Wegs, den du vorschlägst, verstehe ich prinzipiell auch, bin mir aber nicht sicher, wie das dann in der Praxis genau gemacht wird. Da fängt es schon damit an, dass ich nicht ganz verstehe, weshalb \(\mathrm{e}^{-x}\) (du hattest das Minuszeichen vergessen) im Unendlichen nicht beschränkt ist. Für \(x \in \mathbb{R}\) ist das doch falsch, oder übersehe ich da etwas Grundsätzliches?


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wladimir_1989
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  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-19

Hallo Rapt, \quoteon(2019-12-19 11:10 - Rapt in Beitrag No. 4) Aber wie stelle ich denn die Laurent-Reihe von \(\mathrm{e}^{\frac{1}{y}}\) um den Punkt \(y=0\) auf? \quoteoff benutze die Reihendarstellung der Exponentialfunktion mit \(\frac1y\) als Argument. lg Wladimir


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Rapt
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-06

Hallo wladimir, vielen Dank für deine Antwort. Entschuldige bitte meine verspätete Rückmeldung aufgrund der Feiertage. Wenn ich \( \frac{1}{y} \) als Argument der Exponentialreihe einsetze, erhalte ich doch die Entwicklung im Punkt \( y = \infty \) und nicht im Punkt \( y = 0 \): \[\mathrm{e}^{\frac{1}{y}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{y^{-n}}{n!}\] Oder sehe ich da etwas falsch?


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Wally
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-06

Hallo, mit das kannst du doch genauso als Laurentreihe um Null auffassen. Schreibe die Reihe notfalls aus. Wally


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