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Lineare Algebra » Determinanten » Vandermonde-Determinante
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Universität/Hochschule J Vandermonde-Determinante
xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-22


Hallo,
meiner Meinung nach ist untere Formel falsch (habe ich an einer 2x2 Matrix getestet).

Wenn ja, wie müsste ich die Formel anpassen, dass es passt?



Habe im Netz folgende Darstellung gefunden, aber irgendwie komme ich mit dieser Darstellung nicht klar.
de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-22


Das Produkt auf der rechten Seite ist gleich

$\displaystyle \prod_{0 \leq i<k \leq n} (x_k - x_i).$

Die Formeln stimmen also überein.

Wieso siehst du einen Unterschied?



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xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-22


Wo mache ich etwas falsch?




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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-22


Hallo xxxyyy,

beachte auch, dass das innere Produkt für $k=n$ leer (und damit nach Definition 1) ist. Man könnte im äußeren Produkt $k$ also nur bis $n-1$ laufen lassen.

Edit: Okay, das hast du erkannt  😉



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-22


Scheint, als müsse man die Reinfolge der Indizes in deiner Formel einfach ändern, also das Produkt über $x_i -x_k$ bilden.



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-22


Hat sich alles geklärt?

2019-12-22 13:54 - xxxyyy im Themenstart schreibt:
Habe im Netz folgende Darstellung gefunden, aber irgendwie komme ich mit dieser Darstellung nicht klar.
de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix

$\displaystyle \prod_{0 \leq k<i \leq n} (x_i - x_k)$

bedeutet einfach, dass du das Produkt über all die Faktoren $(x_i - x_k)$ bildest mit $0 \leq k<i \leq n$ - in welcher Reinfolge ist ja egal. Das gleiche machst du aber (nach Korrektur des Fehlers) in deiner Formel auch, d.h. es ist

$\displaystyle \prod_{0 \leq k<i \leq n} (x_i - x_k) = \prod_{k=0}^{n-1} \prod_{i=k+1}^n (x_i - x_k) = \prod_{k=0}^{n} \prod_{i=k+1}^n (x_i - x_k)$

Zum Beispiel ist für $n=3$

$\displaystyle \prod_{0 \leq k<i \leq 3} (x_i - x_k) = (x_1-x_0)(x_2 - x_0)(x_3 - x_0)(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)= \Big[(x_1-x_0)(x_2 - x_0)(x_3 - x_0)\Big]\Big[(x_2-x_1)(x_3-x_1)\Big]\Big[(x_3-x_2)\Big] \cdot 1 = \prod_{k=0}^{3} \prod_{i=k+1}^3 (x_i - x_k).$



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xxxyyy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-22


ok, alles klar.

vielen Dank für deine Hilfe!



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xxxyyy hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
xxxyyy hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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