Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Richtigen Lösungsansatz bestimmen für spezielle Lösung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Richtigen Lösungsansatz bestimmen für spezielle Lösung
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-12-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Gegeben ist folgendes DGL-System:

$$\frac{dy_1}{dt}=y_1(t)+y_2(t)-2t$$ $$\frac{dy_2}{dt}=-y_1(t)+y_2(t)+1$$
Dieses soll nun gelöst werden. Ich habs erstmal in Matrixschreibweise notiert:

$$\begin{pmatrix} y_1'\\y_2' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2t\\1 \end{pmatrix}$$
Dann die Eigenwerte \(\lambda\) mittels Determinante bestimmt:

$$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ -1 & 1-\lambda \end{vmatrix}=0$$ $$\lambda_{1/2}=1\pm i$$
Es reicht, wenn ich einen Eigenwert betrachte für die Lösung, da eine komplexe Lösung zwei reelle Lösungen liefert.
Dementsprechend habe ich dann den Eigenvektor \(EV_1\) zu \(\lambda_1\) bestimmt.

$$EV_1=\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix}$$
Die homogene Lösung ist dann:

$$\begin{pmatrix} y_{1_h}\\y_{2_h} \end{pmatrix}=e^t\cdot\Biggl\lbrace C_1\begin{pmatrix} \cos(t)\\-\sin(t) \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} \sin(t)\\\cos(t) \end{pmatrix}\Biggr\rbrace$$


Zwei Fragen nun:
1) Dort, wo nun das \(C_2\) steht, stand vorher die imaginäre Einheit \(i\). Kann ich dieses einfach durch \(C_2\) ersetzen?

2) Die eigentliche Frage des Themas: Woher weiß ich nun, welchen Lösungsansatz ich verwenden muss, um die spezielle/partikuläre Lösung zu bestimmen?
In meinen Lösungsunterlagen wird als Lösungsansatz folgender verwendet:

$$y_{1_{sp}}=A_{_{1}}t+B_{_{1}}$$ $$y_{2_{sp}}=A_{_{2}}t+B_{_{2}}$$
Wie komme ich auf diesen bitte?

\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wessi90
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2059
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-26


Moin,

du kannst entweder Variation der Konstanten anwenden oder du rätst einen geschickten Ansatz.

Eine gute Möglichkeit, die man immer versuchen sollte ist, etwas ähnliches wie die Inhomogenität zu verwenden. Bei dir sind die Inhomogenitäten beides Polynome vom Grad 1. Daher wurde der Ansatz gemacht.

Dieses Vorgehen funktioniert oft ziemlich gut, aber nicht immer. Man braucht manchmal auch ein geschicktes Auge, aber notfalls kann man ja immer noch Variation der Konstanten verwenden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2019-12-26 22:44 - wessi90 in Beitrag No. 1 schreibt:

du kannst entweder Variation der Konstanten anwenden oder du rätst einen geschickten Ansatz.

Ist Variation der Konstanten prinzipiell immer möglich anzuwenden, wenn man die homogene Lösung vorhanden hat?

Was bedeutet hier "raten"? Nach welchem Prinzip muss ich denn hier raten bzw. was sind so meine Anzeichen, dass \(y_{1_{sp}}=A_{_{1}}t+B_{_{1}}\) ein guter Ansatz gewesen ist.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4433
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-12-27 11:51 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 2 schreibt:
2019-12-26 22:44 - wessi90 in Beitrag No. 1 schreibt:

du kannst entweder Variation der Konstanten anwenden oder du rätst einen geschickten Ansatz.

Ist Variation der Konstanten prinzipiell immer möglich anzuwenden, wenn man die homogene Lösung vorhanden hat?

ja, aber man muss prüfen, ob der sog. Resonanzfall vorliegt, dann ist die Vorgehensweise eine andere.

2019-12-27 11:51 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 2 schreibt:
Was bedeutet hier "raten"? Nach welchem Prinzip muss ich denn hier raten bzw. was sind so meine Anzeichen, dass \(y_{1_{sp}}=A_{_{1}}t+B_{_{1}}\) ein guter Ansatz gewesen ist.

Das läuft bei einem System erster Ordnung mit n DGLen im Prinzip gleich ab wie bei einer gewöhnlichen DGL n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Da du hier (für ein System aus zwei Gleichungen) komplexe Eigenwerte hast, müssen diese verschieden sein und somit sind die Lösungspolynome von der gleichen Ordnung wie das höchste vorkommende in der Inhomogenität. Daher hier der Lösungsansatz mitz den beiden linearen Funktionen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Differentialgleichungen' in Forum 'Systeme von DGL' von Diophant]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-27


2019-12-27 13:26 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:

ja, aber man muss prüfen, ob der sog. Resonanzfall vorliegt, dann ist die Vorgehensweise eine andere.

Wie prüfe ich denn, ob der Resonanzfall vorliegt?



Da du hier (für ein System aus zwei Gleichungen) komplexe Eigenwerte hast, müssen diese verschieden sein und somit sind die Lösungspolynome von der gleichen Ordnung wie das höchste vorkommende in der Inhomogenität. Daher hier der Lösungsansatz mit den beiden linearen Funktionen.


Diese Aussage habe ich noch nicht wirklich ganz verstanden. Kannst du mir eventuell anhand meiner Beispielaufgabe oben erläutern bzw. visualisieren, wie das gemeint ist?  😵




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4433
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-27


Hallo,

leider habe ich heute nicht genügend Zeit für größere Antworten. Du solltest hier m.A. nach auch versuchen, so viele dieser Fragen wie möglich mittels deiner Unterlagen zu klären.

2019-12-27 13:57 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-12-27 13:26 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
ja, aber man muss prüfen, ob der sog. Resonanzfall vorliegt, dann ist die Vorgehensweise eine andere.
Wie prüfe ich denn, ob der Resonanzfall vorliegt?

Der liegt dann vor, wenn die Inhomogenität eine Lösung des homogenen Systems ist.

2019-12-27 13:57 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 4 schreibt:

Da du hier (für ein System aus zwei Gleichungen) komplexe Eigenwerte hast, müssen diese verschieden sein und somit sind die Lösungspolynome von der gleichen Ordnung wie das höchste vorkommende in der Inhomogenität. Daher hier der Lösungsansatz mit den beiden linearen Funktionen.
Diese Aussage habe ich noch nicht wirklich ganz verstanden. Kannst du mir eventuell anhand meiner Beispielaufgabe oben erläutern bzw. visualisieren, wie das gemeint ist?  :-?

Du hast das doch sicherlich schon mit gewöhnlichen DGLen mit konstanten Koeffizienten gemacht? Da muss man ggf. das Polynom, mit dem man ansetzt, mit der unabhängigen Variablen multiplizieren: dann nämlich, wenn das charakteristische Polynom Mehrfachlösungen besitzt.

Was aber bei einer 2x2-Matrix mit komplexen Eigenwerten bekanntlich nicht der Fall sein wird, also funktioniert das hier in diesem Beispiel auf jeden Fall.


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10847
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-27


Hallo Max,
der Artikel Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten erklärt, wie man Ansätze für spezielle Lösungen solcher Gleichungen konstruiert.

Der von Diophant erwähnte Resonanzfall liegt vor, wenn die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung Lösungen der homogenen Gleichung enthält.

Servus,
Roland

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxmustermann9991 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]