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| Autor |
 Vergleich von Maßen auf σ-Algebra |
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marido
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 44
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2019-12-30
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Ich habe eine Frage zu folgendem Beweis:
Sei $\mathcal{H}$ $\subseteq$ $\mathcal{P}(X)$ ein Halbring und $\mu$ und $\nu$ Maße auf $\sigma(\mathcal{H})$=: $\mathcal{A}$ mit $\mu |_\mathcal{H}$ and $\nu |_\mathcal{H}$ und beide $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$. Zeige dass:
a.) Wenn $\mu(A) \le \nu(A) \ \forall A \in \mathcal{H}$, dann $\mu(A) \le \nu(A) \ \forall A \in \mathcal{A}$
b.) Die Behauptung in a.) stimmt nicht mehr wenn der Halbring $\mathcal{H}$ durch einen durchschnittstabilen Erzeuger $\mathcal{E}$ ersetzt wird.
Bisher habe ich folgendes
a.) Sei $A \in \mathcal{A}$. Sei $(E_{i,n})_{n \ge 1}$ $i \in I$ die Familie der $\mathcal{H}$-Überdeckungen von A.
Für jedes $i \in I$ ist $\sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n}) \le \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \Rightarrow \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \mu(E_{i,n})\rbrace \le \inf_i\lbrace \sum_{n \ge 1} \nu(E_{i,n}) \rbrace$.
Ich bin mir nicht sicher ob dieser Schluss zulässig ist. Und da ich eigentlich keine Eigenschaften eines Halbrings vorausgesetzt habe habe ich auch keine Idee wie ich b.) prüfen soll.
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Red_
Aktiv 
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 1009
 | Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-30
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Hi,
ich kenne den Begriff des Halbrings nicht, aber ich vermute, dass der Beweis auf das Prinzip er guten Menge beruht. Du definierst dir eine Menge mit Elementen, die die geforderte Eigenschaft erfüllt. Zeigst, dass sie eine \(\sigma\)-Algebra ist oder so und erhälst, dass deine Menge schon die ganze Menge selbst ist. Falls du das Prinzip nicht kennst, kannst du dir einige Beweise dazu anschauen. Ich glaube es gibt den Satz wo die Ungleichung eine Gleichheit ist und dort wird es genau so bewiesen. Dann wirst du auch bestimmt sehen, wo du die Eigenschaft eines Halbrings benutzt hast, um zu zeigen, dass deine Menge eine \(\sigma\)-Algebra ist.
Red_
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marido
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.12.2011
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-30
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Hi,
ja ich kenne das Prinzip der guten Mengen. Bin mir aber nicht sicher ob dieses Prinzip hier anwendbar ist. Bei dem Beweis mit der Gleichheit bildet ja die Menge $\lbrace A \in \mathcal{A} : \mu(A) = \nu(A) \rbrace$ ein Dynkin-System das spezielle Eigenschaften hat die im Beweis benützt werden.
Bei Ungleichheit habe ich das nicht.
Die erste Frage ist ja einmal, ob mein Beweis für a.) korrekt ist.
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Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 1009
| Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-30
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Na gut, dann stelle ich erstmal ein paar Fragen:
\quoteon
mit $\mu |_\mathcal{H}$ and $\nu |_\mathcal{H}$ und beide $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$.
\quoteoff
Was heißt das? Sigma-Endlichkeit ist nur auf Messräumen definiert, aber \(H\) ist ein Halbring. Willst du die Definition einfach für Halbringe dann übertragen?
\quoteon
Bisher habe ich folgendes
a.) Sei $A \in \mathcal{A}$. Sei $(E_{i,n})_{n \ge 1}$ $i \in I$ die Familie der $\mathcal{H}$-Überdeckungen von A.
\quoteoff
Wie ist eine H-Überdeckung definiert?
Wie folgerst du am Ende, dass die beiden Infimums gerade die Maße von A sind?
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marido
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 21.12.2011
Mitteilungen: 44
Wohnort: Wien
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-30
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$\mu$ ist $\sigma$-endlich auf $\mathcal{H}$ wenn es eine Folge $(E_n)_{n \ge 1}$ gibt, sodass $\mu(E_n) < \infty$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und $\bigcup_{n \ge 1} = X$ ist.
Eine $\mathcal{H}$-Überdeckung $A$ ist eine Folge $(E_n)_{n \ge 1}$ in $\mathcal{H}$ mit $A \subseteq \bigcup_{n \ge 1} E_n$.
Das Maß $\mu$ auf $\sigma(\mathcal{H})$ ist ja gleich dem äußeren Maß $\mu^*$ welches vom Prämaß auf dem Halbring, was ich hier ebenfalls mit $\mu$ bezeichnet habe, erzeugt wird. Und die Definition des äußeren Maßes ist eben $\mu^*(A) = \inf \lbrace \sum_{n \ge 1} \mu(E_n) : (E_n)_{n \ge 1} \text{ist eine H-Überdeckung von A} \rbrace$
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