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Funktionentheorie » Integration » Anwendung Cauchysche Integralformel und Integralsatz
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Universität/Hochschule Anwendung Cauchysche Integralformel und Integralsatz
Mathsman
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  Themenstart: 2020-01-01

Hallo an alle, ich bitte wieder um Hilfe bei einer Aufgabe betreffend Funktionentheorie: Berechnen sie unter Verwendung vom Cauchyschem Integralsatz für Sterngebiete und Cauchyscher Integralformel: wegint(1/((z^2+1)*z),z,\pd\ B), wobei a.) B=B_(1/2)(1) b.) B=B_(1/2)(0), c.) B=B_(1/2)(i), d.) B=B_(2)(0) Hinweis zu d.): schreiben Sie ähnlich wie im Beweis des Zentrierungslemma des Integrationsweg als Summe von zwei Wegen. So a.) bis c.) hab ich - jetzt scheitere ich daran den Hinweis geeignet anzuwenden. Im Beweis des Zentrierungslemma wird eben der Integrationsweg auf zwei Wege C1, C2 aufgeteilt, einer geht als geschlossenen Halbkreis über einem Punkt z (z ist ein Punkt wo die Funktion nicht holomorph) hinweg, z wird aber durch einen weiteren Halbkreis umgegangen. Das gleiche im andere Halbkreis, der zusammen mit dem ersten, den ursprünglichen Halbkreis bildet. Dann nützt man aus, dass die Wege Sterngebiete sind, kann den Cauchyschen Integralsatz dafür anwenden und bekommt aufgrund des Integrabilitätskriterium, dass das Integral in beiden Bereichen 0 ist. Das sollen wir hier anwenden. Das Problem, dass ich habe, ich müsste drei Punkte (0,i,-i) "umkreisen" und wenn ich das mache, hab ich aus meiner Sicht kein Sterngebiet. Wahrscheinlich muss ich die Kreise aus b.) und c.) einbauen, nur komm ich auf keine zufriedenstellende Idee. Ich bitte um Hilfe und Ideen. Mit freundlichen Grüßen, Mathsman


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-02

Huhu Mathsman, ist mit \(B_2(0)\) \(|z|=2\) gemeint? Es ist\(\frac{1}{z(z^2+1)}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z+i}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z-i}\). Darauf kannst du doch direkt die Cauchy Integralformel loslassen?! Gruß, Küstenkind


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