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Funktionentheorie » Holomorphie » Ganze Funktionen
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Universität/Hochschule J Ganze Funktionen
shirox
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  Themenstart: 2020-01-05

Guten Abend, ich weiß bei einer Aufgabe meines Übungsblattes nicht so wirklich weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt: Bestimmen sie alle ganzen Funktionen der Form f(z)=u(x)+iv(y) wobei z= x+iy und u,v R->R diff'bare Funktionen sind Ganze Funktionen sind ja Funktionen, welche auf ganz C komplex differenzierbar sind, da wir noch ganz zu Beginn des Themas sind kennen wir als Beispiele für ganze Funktionen nur Polynome und Potenzreihen( muss der Konvergenzradius unendlich oder nur großer null sein?) Naja irgendwie hab ich keine Idee wie ich alle bestimmen soll, vielleicht hat jmd ja einen Tipp:)


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-05

Rechne zuerst einmal nach, wann eine Funktion dieser Form überhaupt (komplex) differenzierbar ist. --zippy


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shirox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05

Erstmal danke für den Tipp irgendwie habe ich noch mit dem u und v so meine Schwierigkeiten Also würde ich jetzt die Cauchy-Riemann-Dgln nutzen, dann müsste ja \ u_x(x)=v_y(y) und u_y(x)=-v_x(y) gelten also ist u_x(x) nur noch ein Konstanter Term z.B a und v_y(y) auch ein konstanter Term z.b b und u_y(x)=0 und -v_x(y)=0 also gibt das schon mal immer aber ich bin mir mit den Konstanten Termen nicht so ganz sicher. Ich versteh das mit den u und v noch nicht so ganz ist u(x)=x hier einfach oder u(x)=ax weil u noch eine Funktion ist die irgendwo hin abbildet, aber dann müssen a und b ja auch keine Funktionen sein Falls u(x)=x dann gilt das ganze einfach für die Nullfunktion?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-05

\quoteon(2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2) aber ich bin mir mit den Konstanten Termen nicht so ganz sicher. \quoteoff Zunächst einmal bist du richtigerweise auf $u_x(x)=a$ und $v_y(y)=b$ mit Konstanten $a$ und $b$ gekommen. Aus $u_x(x)=v_y(y)$ folgt aber auch noch $a=b$. \quoteon(2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2) ist u(x)=x hier einfach oder u(x)=ax weil u noch eine Funktion ist die irgendwo hin abbildet \quoteoff Aus $u_x(x)=a$ folgt durch Integration $u(x)=a\,x+c$ mit einer neuen Konstanten $c$. Analog folgt $v(y)=a\,y+d$. \quoteon(2020-01-05 21:31 - shirox in Beitrag No. 2) aber dann müssen a und b ja auch keine Funktionen sein \quoteoff Warum sollten das Funktionen sein? Du hast doch oben selbst von Konstanten gesprochen. Um die Aufgabe abzuschließen, musst du jetzt nur noch in Worte fassen, was das für Funktionen sind, die die Form$$ f(x+iy) = u(x)+iv(y) = [ax+c]+i[ay+d] = a(x+iy)+(c+id)$$haben.


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shirox
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05

Vielen Dank, jetzt habe ich einiges mehr verstanden Aber alle ganzen Funktionen sehen dann so f(x+iy)=u(x)+iv(y)=[ax+c]+i[ay+d]=a(x+iy)+(c+id) aus? Ich weiß nicht genau, hast du das letzte Gleichheitszeichen gemacht, damit es mich an mx+b erinnert also sind es Gerade in C?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-05

\quoteon(2020-01-05 22:03 - shirox in Beitrag No. 4) hast du das letzte Gleichheitszeichen gemacht, damit es mich an mx+b erinnert also sind es Gerade in C? \quoteoff Ja. Es sind affin-lineare Funktionen $f(z)=a\,z+b$ mit einem reellen $a$.


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shirox
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05

Super, Vielen Dank!


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