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Analysis » Maßtheorie » Maßtheorie
Autor
Universität/Hochschule Maßtheorie
Condario
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Dabei seit: 15.01.2020
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  Themenstart: 2020-01-15

Hallo, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: Zeige, dass für offene Mengen $U_1,U_2\in m_0$ gilt: $\mu(U_1\cup U_2)+\mu(U_1\cap U_2)=\mu(U_1)+\mu(U_2)$ Dabei ist zu beachten, dass das Lebesgue-Maß zuerst nur für Quader und endliche Vereinigung disjunkter Quader definiert wurde. Dann wurde gezeigt, dass sich jede offene Menge als Vereinigung von Quadern mit disjunktem Inneren schreiben lässt. Das Maß wurde dann auf alle Mengen erweitert, die sich als abzählbare Vereinigung von beschränkten Quadern mit disjunktem Inneren schreiben lassen und dort so definiert: $\mu(M)=\sum_{j\in\mathbb{N}}\mu(Q_j)$ Dies ist das Maß auf M, wenn die rechte Summe endlich ist und M die Vereinigung der Quader ist. Alle Mengen, auf die sich das Maß so verallgemeinern lässt, werden in $m_0$ zusammengefasst. Nun zu meinem Problem: Als erstes ist zu zeigen, dass $U_1,U_2,U_1\cap U_2$ und $U_1\cup U_2$ in $m_0$ sind. Das ist einfach, da alles offene Mengen sind. In der Übung wurde der Rest so gezeigt: Es gilt: $B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$ und $A\cup B=A\cup (B\setminus A)$ und die Mengen sind disjunkt und man verwendet die $\sigma $-Additivität. Ich verstehe nicht wieso man das machen darf, denn wir wissen nicht, dass $B\setminus A$ in $m_0$ ist. (was ja auch gar nicht stimmt) Und daher ist das Maß dort nicht definiert und daher funktioniert das so ja nicht, aber wie dann?

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Vega
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-15

Hi Condario, Ist $m_{0}$ eine $\sigma$-Algebra? Dann gilt das doch. Offen muss dass Komplement natürlich nicht sein. Aber dass ist für die Formel nicht wichtig.

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Condario
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.01.2020
Mitteilungen: 2
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-15

$m_0$ ist keine $\sigma$-Algebra. Meiner Meinung nach leider auch kein Mengenring, was ja reichen würde.

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Condario hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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