Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Integral aus dem Bronstein
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Integral aus dem Bronstein
Dachprodukt
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 27
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-15


Hallo,

ich hoffe dass ich mit dem Thema im richtigen Unterforum gelandet bin.

Es geht um ein Integral aus dem Bronstein, das wie folgt angegeben ist [1]:
\[ \int \frac{1}{\cos x} dx
= \operatorname{Artanh} \operatorname{Artanh}\big(\sin x\big)
= \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg| \] bzw. noch mit einer Integrationskonstante.

Mit der rechten Lösung bin ich zufrieden (meine weiteren Rechnungen haben damit funktioniert), jedoch frage ich mich, ob die Gleichheit der beiden Lösungen wirklich stimmt.

Plotte ich beide Lösungen beispielsweise mit Desmos, erhalte ich verschiedene Graphen.
Auch meine weiteren Rechnungen mit dem Integral funktionieren nur mit der rechten Lösung, nicht aber mit der mittleren.

Könnte sich vielleicht ein Fehler in den Bronstein geschlichen haben oder mache ich irgendwas falsch?

Vielen Dank für eure Antworten.

Gruß
Dachprodukt

[1] Handbook of Mathematics, Ilja N. Bronshtein, Fifth Edition. Seite 1044

Nachtrag:
Ich hab mal noch schnell einen Link von Desmos erstellt, damit ihr euch selbst ein Bild machen könnt.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Conny42
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 141
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-15


Huhu Dachprodukt,

da hat sich im Bronstein ein Fehler eingeschlichen, es müsste

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos(x)}\, dx = \mbox{Artanh}(\sin(x))$

heißen.
Es ist ja (für $x \notin \dfrac{\pi}{2}\mathbb{Z}$)

$\dfrac{d}{dx} \mbox{Artanh}(\sin(x)) = \dfrac{1}{1-\sin^2(x)} \cdot \cos(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}.$

Liebe Grüße,
Conny



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-15


$\require{enclose}$
2020-01-15 14:17 - Dachprodukt im Themenstart schreibt:

\[ \int \frac{1}{\cos x} dx
=
\enclose{downdiagonalstrike,updiagonalstrike}[mathcolor="red"]{\operatorname{{\color{black}{Artanh}}}}
\operatorname{Artanh}\big(\sin x\big)
= \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg| \]


Das ist einfach ein $\text{Artanh}$ zuviel.


<math>
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
]
\pgfkeys{/pgf/declare function={artanh(\x) = 0.5*(ln(1+\x)-ln(1-\x));}}
\begin{axis}[
title={$\color{red} \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg|$, ~~~
$\color{blue!50!white} \text{Artanh}\bigl( \sin(x) \bigr)$
},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
samples     = 777,
trig format =rad,
%xmin = -5.5, xmax=5,
ymin = -5, ymax=5,
%minor tick num=1,
%enlarge x limits={abs=1,lower},
%enlarge y limits={abs=1},
xlabel={$x$},
xlabel style={anchor=north west, inner sep=1pt},
ylabel={$y$},
ylabel style={anchor=east, inner sep=1pt},
domain=-12:12
]
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\addplot[blue!50!white, ultra thick] {artanh(sin(\x))};
\addplot[red, thin] {ln(abs(tan(x/2+pi/4))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
</math>

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dachprodukt
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 27
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-15


Hallo ihr beiden,

danke! Da hat sich also echt ein Fehler in den Bronstein eingeschlichen... 😮

Einen schönen Abend und viele Grüße
Dachprodukt



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6187
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-19


Hallo alle,

in meinem Bronstein (22. Auflage von 1985) steht nur die Formel \(\ln(\tan(\frac x2+\frac\pi4))\).

Dafür hatte ich damals einen anderen Fehler entdeckt. Und zwar steht in meinem Bronstein
\[\int\frac{dx}{a^4+x^4} = \frac1{4a^3\sqrt2} \ln \frac{x^2+ax\sqrt2+a^2}{x^2-ax\sqrt2+a^2} + \frac1{2a^3\sqrt2}\arctan\frac{ax\sqrt2}{a^2-x^2}\] Berechnet man nun etwa \[\int_{0}^2\frac{dx}{1+x^4}\] ergibt sich mit \(a=1\)
\[=\frac1{4\sqrt2} \ln \frac{5+2\sqrt2}{5-2\sqrt2} + \frac1{2\sqrt2}\arctan\frac{2\sqrt2}{-3} - \frac1{4\sqrt2} \ln 1 - \frac1{2\sqrt2}\arctan 0\] \[=\frac1{4\sqrt2} \ln \frac{5+2\sqrt2}{5-2\sqrt2} - \frac1{2\sqrt2}\arctan\frac23\sqrt2\approx0,202\] Wolfram Alpha (was es damals natürlich noch nicht gab) liefert aber 1,07.

Ich habe dann einen Brief in die DDR an den Teubner-Verlag in Leipzig geschrieben. Ein paar Wochen später kam die Antwort von Dr. Günter Grosche: "[...] recht herzlich bedanken. Durch die nicht sachgerechte Anwendung des Additionstheorems für den Arcustangens entstehen tatsächlich in der Stammfunktion Singularitäten, durch die der Definitionsbereich unnötig eingeengt wird. Wir werden den Fehler in der nächsten Auflage beseitigen."

Das ist dann auch geschehen.

Edit:
Hier noch die Briefmarke



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dachprodukt hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dachprodukt hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]