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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Elliptische Kurven - Punktberechnung
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Universität/Hochschule Elliptische Kurven - Punktberechnung
Lourensohn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-16


Hallo! :)

Ich beschäftige mich zur Zeit mit Kryptografie und bin jetzt zu ECC gekommen. Ich bin hier auf folgene Aufgabe gestoßen:

Gegeben sei die elliptische Kurve
E = {(x, y) : y^2 = x^3+2x+3 mod 7} U {0}
und der Punkt
P = (3, 6).
Zeigen Sie, ob der Punkt eine zyklische Untergruppe der Gruppe geformt
durch die Kurve |E generiert.

Wie würde ich hier nun vorgehen? Bin für jede Hilfe dankbar!

Liebe Grüße
Lou



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-16


Hallo Lourensohn,

willkommen auf dem Matheplaneten!

2020-01-16 19:25 - Lourensohn im Themenstart schreibt:
Zeigen Sie, ob der Punkt eine zyklische Untergruppe der Gruppe geformt
durch die Kurve |E generiert.

Diesen Satz verstehe ich nicht. Ist das die Original-Aufgabenstellung? Und: Was ist denn |E?



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Lourensohn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-16


Hallo! Vielen Dank erstmal für deine Antwort :)

Ja genau, das oben ist genau so als Aufgabe gestellt worden. E ist in diesem Fall die oben beschriebene elliptische Kurve.

Ich würde nun so vorgehen:

Für die Werte von x= 1 bis 6 prüfen, ob beim Einsetzen in die Gleichung ein "vernünftiges" Y (Sprich, Element der Gruppe) rauskommt.

Dann mit dem gegebenen Punkt P versuchen, die neu gefundenen Punkte alle zu erzeugen, bis ich beim Point of Infinity (0|0) ankomme.

Hätte ich damit bewiesen, dass der gegebene Punkt P Generator ist?

Vielen Dank und liebe Grüße!
Lou



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-16


Ich störe mich erst einmal an der Formulierung "Zeigen Sie, ob ...". Das müsste ja heißen "Zeigen Sie, dass ..." oder "Untersuchen Sie, ob ...". Dann finde ich die Formulierung "Gruppe geformt durch die Kurve" etwas merkwürdig. Außerdem das | links neben dem E. Aber geschenkt ...

Du kannst erst einmal alle Punkte (x,y) bestimmen, die in E enthalten sind. Hierbei ist x = 0 ebenfalls zulässig. Den Punkt im Unendlichen solltest du nicht (0,0) nennen, denn (0,0) ist kein Element von E, sondern O (nicht 0) oder \(\infty)\). Ich bin auf insgesamt fünf Punkte (x,y) gekommen. Insgesamt hat E also sechs Elemente.

Berechne anschließend P+P und P+P+P. Wenn beides Mal nicht O rauskommt, hat P die Ordnung 6 und erzeugt somit E.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-17


2020-01-16 22:41 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3 schreibt:
Berechne anschließend P+P und P+P+P. Wenn beides Mal nicht O rauskommt, hat P die Ordnung 6 und erzeugt somit E.

Man könnte das auch kurz so ausdrücken, dass der Punkt P genau dann Erzeuger von E ist, wenn er nicht Nullstelle mod 7 der Divisionspolynome $\psi_2$ und $\psi_3$ ist (s. hier). Aber vermutlich geht es hier um weitaus elementarere Dinge, wie schon die von dir zu Recht bemängelte vollkommen unklare Aufgabenstellung zeigt.  😎



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