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Universität/Hochschule Differentialgleichung System
mathemann234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-18


Guten tag,

ich habe zwei homogene lineare  Differentialgleichungssysteme, die es zu lösen gilt.
Das erste Lautet :
\(x_1' = 3x_1 + 2x_2 \\
x_2' = 4x_1 + x_2\)

wobei die Anfangsbedingungen :

\(x_1(0)=0 \\  x_2(0)=3\)


Ich habe für die zugehörige Matrix die Eigenwerte bestimmt, die komplex sind. Jedoch, wenn ich versuche dann die eigenvektoren zu bestimmen, kommt für beide\(v_{\lambda_i} = (0,0) \) raus.

Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das Problem löse, geschwige denn ob mein ansatz überhaupt richtig ist.



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-18


Hallo mathemann,

und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Ich nehme an, du hast dich bei der Bestimmung der Eigenvektoren bzw. schon der Eigenwerte verrechnet? Vielleicht magst du mal ein paar Zwischenschritte angeben.

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz



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mathemann234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Hallo, vielen Dank

Also, ich bin für die Eigenwerte auf

\(\lambda_1= -2+i \\ \lambda_2=-2-i \)

gekommen, indem ich einfach die Determinante für die Matrix gelöst hab. Dann erhalte ich für den ersten Eigenwert :

\((5-i)x_1 + 2x_2 = 0 \\
4x_1 + (3-i)x_2 = 0 \)

Für den zweiten Eigenwert sieht es ähnlich aus, und für beide bekomme ich x\(x_1 = x_2 = 0\)

ich bin nicht so schnell mit Latex, ich würde ungern jeden kleinen Schritt hier rein schreiben, da das sehr lange dauert. Ist das vorgehen aber an sich richtig ? Wie ist wenn ich die Eigenvektoren habe genau die Lösung strukturiert ?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

2020-01-18 13:08 - mathemann234 in Beitrag No. 2 schreibt:
Also, ich bin für die Eigenwerte auf

\(\lambda_1= -2+i \\ \lambda_2=-2-i \)

gekommen, indem ich einfach die Determinante für die Matrix gelöst hab.  

Das ist definitiv falsch. Es kommen hier reelle (sogar ganzzahlige) Eigenwerte heraus. Meinst du diese Determinante:

\[\left|\begin{matrix}3-\lambda&2\\4&1-\lambda\end{matrix}\right|\]
Falls ja, dann zeige uns mal deine Rechnung. Falls nein, dann probiere es mit der obigen.  😄


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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mathemann234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Ich bin mir ehrlich gesagt auch ziemlich unsicher wie ich ein Gleichungssystem mit Komplexen zahlen löse. hab ich noch nicht gemacht davor.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-18


2020-01-18 13:17 - mathemann234 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich bin mir ehrlich gesagt auch ziemlich unsicher wie ich ein Gleichungssystem mit Komplexen zahlen löse. hab ich noch nicht gemacht davor.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Wie gesagt: muss man hier nicht. Ansonsten löst man es auch nicht anders als im Reellen.  😄


Gruß, Diophant



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mathemann234
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-18


Ja dieMatrix ist richtig. Ich habe dafür raus als Determinante :

\( 3-3\lambda-\lambda+\lambda^2 = \lambda^2.4\lambda-5

\)
und für die pq Formel darauf angewendet erhalte ich :

\( -2 \pm i

\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

deine Determinante ist falsch. Es ist

\[\left|\begin{matrix}3-\lambda&2\\4&1-\lambda\end{matrix}\right|=(3-\lambda)(1-\lambda)-8\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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