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Lineare Algebra » Lineare Unabhängigkeit » Lineare Unabhängigkeit
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Universität/Hochschule J Lineare Unabhängigkeit
caja2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-01-27


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-27

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Hallo,

das zu zeigen sollte sehr einfach über die Definition der Linearen Unabhängigkeit gehen. Setze dazu einfach für \(n\) die Summe ein und fasse geeignet zusammen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Unabhängigkeit' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-27

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Hallo caja2000,

lineare Unabhängigkeit bedeutet ja, dass es keine nichttriviale Linearkombination (bei der also nicht alle Koeffizienten 0 sind) der Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt. Dass $(r_1,\dots,r_n)$ linear unabhängig ist heißt also, dass

\[\sum_{k=0}^n a_k r_k=0\]
nur erfüllt werden kann, wenn alle $a_k=0$ sind. Umgekehrt, wenn Vektoren linear abhängig sind, dann gibt es eine solche Linearkombination, bei der nicht alle $a_k=0$ sind.

Ich würde die Aufgabe jetzt mit einem Widerspruchsbeweis angehen: Angenommen, $(n,r_2,\dots,r_n)$ sei linear abhängig. Dann [...]

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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caja2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-27

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2020-01-27 20:20 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo caja2000,

lineare Unabhängigkeit bedeutet ja, dass es keine nichttriviale Linearkombination (bei der also nicht alle Koeffizienten 0 sind) der Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt. Dass $(r_1,\dots,r_n)$ linear unabhängig ist heißt also, dass

\[\sum_{k=0}^n a_k r_k=0\]
nur erfüllt werden kann, wenn alle $a_k=0$ sind. Umgekehrt, wenn Vektoren linear abhängig sind, dann gibt es eine solche Linearkombination, bei der nicht alle $a_k=0$ sind.

Ich würde die Aufgabe jetzt mit einem Widerspruchsbeweis angehen: Angenommen, $(n,r_2,\dots,r_n)$ sei linear abhängig. Dann [...]

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Also für's Verständnis hat mir deine Antwort erstmal sehr geholfen. Jetzt weiß ich endlich, warum die Summe davon null sein muss (hat für mich davor nämlich keinen Sinn gemacht).
Aber so wirklich wissen tu ich immer noch nicht, was ich machen soll. Ich hab zwar die Idee verstanden, dass ich aus der Annahme, dass $(n,r_2,\dots,r_n)$ linear abhängig ist, einen Widerspruch basteln soll, aber was leite ich denn davon ab?
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Da würde ich den Hinweis von Diophant nochmal aufgreifen: Gehe von der Existenz einer solchen nichttrivialen Linearkombination aus, die den Nullvektor ergibt, und setze dann für $n$ die dir gegebene Definition von $n$ ein. Und dann schau mal, ob dir was auffällt.
\(\endgroup\)


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limsumpf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-28


Hallo,
Das ganze geht auch direkt:
Die Menge \(\{n,r_{2},...,r_{n}\}\) ist linear unabhängig (Definition), wenn für \(a_i\in \mathbb{K}\) (der Körper) gilt
\[a_{1}n+\sum\limits_{i=2}^{n}a_{i}r_{i}=0 \qquad \Rightarrow \qquad a_{i}=0\;\forall i \in \{1,...,n\}\] Das heißt, das müssen wir zeigen.
Befolgt man den Hinweis von Diophant, erhält man für die Summe:
\[a_{1}\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n\lambda_{i}r_{i}}_{=n}+\sum\limits_{i=2}^{n}a_{i}r_{i}
=\underbrace{(a_{1}\cdot \lambda_{1})}_{=:b_{1}} r_{1} +\sum\limits_{i=2}^{n}\underbrace{(a_{1}\cdot \lambda_{i}+a_{i})}_{=:b_{i}}r_i
=\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}r_{i}\] Darauf wendet man die Voraussetzung, dass \(\{r_{1},...,r_{n}\}\) linear unabhängig sind, an, und erhält die Behauptung, denn es gilt

\[\sum\limits_{i=1}^{n}b_i r_i=0\qquad \Rightarrow \qquad b_i=0\;\forall i\in\{1,...,n\}\] Und damit, weil \(\lambda_1\neq 0\), ist \(a_1=0\) und damit auch \(a_i=b_i=0\) für \(n\geq i>1\).

Eine dazu passende Aussage findet man auch unter dem Begriff Austauschlemma.



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